SCUT - 365 - 鹏哥的数字集合 - wqs二分 - 斜率优化dp

https://scut.online/p/365 https://www.luogu.org/problemnew/solution/P2365 写这篇的时候还不是很明白,看一下这个东西. https://www.cnblogs.com/CreeperLKF/p/9045491.html 还是不懂,去问学长了,叫做wqs二分.要求恰好选m个的这种题,每个物品放一个附加权值C. https://blog.csdn.net/chenxiaoran666/article/details/833817…

Gym - 101981B Tournament (WQS二分+单调性优化dp)

题意:x轴上有n个人,让你放置m个集合点,使得每个人往离他最近的集合点走,所有人走的距离和最短. 把距离视为花费,设$dp[i][k]$表示前i个人分成k段的最小花费,则有递推式$dp[i][k]=min\{dp[j][k-1]+w(j,i)\}$,其中$w(j,i)$可以$O(1)$求出. 显然,如果考虑段数的话,光状态数就有n^2个,肯定行不通.不过这题的最优解对段数的函数是凸的,因此可以用WQS二分来打破段数的限制. 给每个集合点加上一个额外的花费c,然后忽略段数的限制,这样递推式就变成了…

P4983-忘情【wqs二分,斜率优化】

正题题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P4983 题目大意给出长度为$n$的序列$x$,记平均数为$\bar{x}$,要求将序列分成$m$段. 每一段$[l,r]$的值为 \[\frac{((\sum_{i=l}^rx_i\times \bar x)+\bar x)^2}{\bar x^2} \] 求所有段的值和最小 $1\leq m\leq n\leq 10^5,1\leq x_i\leq 1000$ 解题思路直接除以\(…

洛谷P4983 忘情 (WQS二分+斜率优化)

题目链接忘情水二分模板题,最优解对划分段数的导数满足单调性(原函数凸性)即可使用此方法. 详细题解洛谷里面就有,不啰嗦了. 二分的临界点让人有点头大... #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; typedef double db; ,inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f; ll n,m,hd,tl,a[N],S[N],dp[N],cnt[N]; struct P {ll x,y,c;} q…

决策单调性&wqs二分

其实是一个还算 trivial 的知识点吧--早在 2019 年我就接触过了,然鹅当时由于没认真学并没有把自己学懂,故今复学之( 1. 决策单调性引入:在求解 DP 问题的过程中我们常常遇到这样的问题:我们列出了一个 $dp$ 状态转移方程式形如 $dp_i=\min\limits_{j<i}dp_j+w(j+1,i)$ 或类似的形式,暴力转移时间复杂度 $\mathcal O(n^2)$ 过不去,但是你发现这里的代价函数 $w(l,r)$ 有一些比较好的性质,譬如单调性或凹凸…

wqs二分

今天模拟赛有一道林克卡特树,完全没有思路赛后想了一想,不就是求$k+1$条不相交的链,使其权值之和最大嘛,傻了. 有一个最裸的$DP$,设$f[i][j][k]$表示在以$i$为根的子树中,选了$j$条链,$k=0$表示$i$不在链上,$k=1$表示$i$是链的一端,$k=2$表示$i$在链的中间这样就随便转移了,就是个$O(nk^2)$的树上背包然后呢,又傻了,这能怎么优化? 我先在这里Orz一下大佬BLUESKY007,没有学过wqs二分…

For循环将将数字集合分类写入字典

有以下数字集合[11,22,33,44,55,66,77,88,99,25,35,45,66,88],将所有大于66的值保存至字典的第一个key中,将小于66的值保存至第二个key的值中.即{'k1':大于66的所有值,'k2':小于66的所有值}. 思路: 使用FOR循环遍历列表里的所有值,用if进行判断,如果大了则写入key1字典,如果小了则写入key2字典,最后打印字典. li = [11,22,33,44,55,66,77,88,99,25,35,45,66,88]#列表 dict =…

C#，判断数字集合是否是连续的

/// <summary> /// 判断数字集合是否是连续的 /// </summary> /// <returns></returns> public bool IsContinuous(List<int> numList) { numList.Sort((x, y) => -x.CompareTo(y));//降序 bool result = false; ; i < numList.Count(); i++) { ] == )…

SCUT - 289 - 小O的数字 - 数位dp

https://scut.online/p/289 一个水到飞起的模板数位dp. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; bool notp[2000]; const int MAXS1=200; const int MAXS2=2000; int a[20]; ll dp[20][MAXS1][MAXS2]; ll dfs(int pos,int s1,int s2,bool lead,bool l…

Codeforces Round #365 (Div. 2) C - Chris and Road 二分找切点

// Codeforces Round #365 (Div. 2) // C - Chris and Road 二分找切点 // 题意:给你一个凸边行,凸边行有个初始的速度往左走,人有最大速度,可以停下来,竖直走. // 问走到终点的最短时间 // 思路: // 1.贪心来做 // 2.我觉的二分更直观 // 可以抽象成:一条射线与凸边行相交,判断交点.二分找切点 #include <bits/stdc++.h> using namespace std; #define LL long lon…

CF739E Gosha is hunting DP+wqs二分

我是从其他博客里看到这题的,上面说做法是wqs二分套wqs二分?但是我好懒呀,只用了一个wqs二分,于是$O(nlog^2n)$→$O(n^2logn)$ 首先我们有一个$O(n^3)$的暴力$DP$,转移好写,形式优美,但复杂度不对该怎样发现它的凸性质呢 1.打表√ 2.冷静分析一波,每一种球肯定是越多越好,于是我们先固定选择$a$个普通球,然后那$b$个大师球肯定是从大到小挑选.这样的话每多选一个,新增的收益就会下降一点,也就是说这是个上凸函数.(口胡如果假的话,就…

关于WQS二分算法以及其一个细节证明

应用分析它的作用就是题目给了一个选物品的限制条件,要求刚好选$m$个,让你最大化(最小化)权值, 然后其特点就是当选的物品越多的时候权值越大(越小). 算法分析我们先不考虑物品限制条件, 假定我们要最大化权值. 然后其中我们二分一个$C$,表示选一次物品的附加权值, 如果我们$C$越大,我们选的物品个数越多,权值越大, 于是当选的物品个数大于$m$时,减小$C$,否则增大$C$, 最后计算答案的时候去掉$C$值的影响即可. Updata:这回还是讲一讲算法吧-->理论算法分析首先我们拿到一…

[总结] wqs二分学习笔记

论文提出问题在某些题目中,强制规定只能选 $k$ 个物品,选多少个和怎么选都会影响收益,问最优答案. 算法思想对于上述描述的题目,大部分都可以通过枚举选择物品的个数做到 $O(nk^2)$ 或 $O(nk)$ 的 $\mathrm{DP}$,如果没有选择个数的限制的话,复杂度大概会降为 $O(n)$ 级别. 先不考虑数量限制. 假设要最小化权值. 还是拿题说吧:给定长度为 $n$ 的正整数序列,要求将该序列划分为 $k$ 段,记每段之和为 $sum(i)$,…

BZOJ5252 八省联考2018林克卡特树（动态规划+wqs二分）

假设已经linkcut完了树,答案显然是树的直径.那么考虑这条直径在原树中是怎样的.容易想到其是由原树中恰好k+1条点不相交的链(包括单个点)拼接而成的.因为这样的链显然可以通过linkcut拼接起来,而若选择不超过k条链则可能有链不得不被cut拆开,即使不会被拆开也可以通过选择单点来达到恰好k+1条(下设k=k+1). 那么问题变为在树上选择k条点不相交的链使边权和最大.最简单的dp就是设f[i][j]为i子树中选j条链的最大权值,且用一维012状态记录i这个点在子树中的度数,转移类似于一个树…

[学习笔记]凸优化/WQS二分/带权二分

从一个题带入:[八省联考2018]林克卡特树lct——WQS二分比较详细的: 题解 P4383 [[八省联考2018]林克卡特树lct] 简单总结和补充: 条件凸函数,限制方法: 二分斜率,找切点横纵坐标,判断k的位置找切点坐标: 集体-mid*x(证明还是凸函数:f(x+2)-f(x+1)<=f(x+1)-f(x))仍然成立) 每次选择物品有额外代价, 找此时高点就是原凸包切点为了避免凸包上多点共线并且线的横坐标区域包含k,从而使得不会二分到k, 我们ans不记录符合条件切点的纵坐标…

[八省联考2018]林克卡特树lct——WQS二分

[八省联考2018]林克卡特树lct 一看这种题就不是lct... 除了直径好拿分,别的都难做. 所以必须转化突破口在于:连“0”边对于k=0,我们求直径 k=1,对于(p,q)一定是从p出发,走一段原树,走0(或不走),再走一段原树,所以要最大化原树的值的和. 选择最大两条点不相交的链(注意:可以选择一个点,这时候链长为0).然后一定可以首尾连起来得到答案 k更大的时候,选择最大的k+1条两两不相交的路径,然后一定存在方案使之连接起来,一定是最优解.(因为如果实际上最优解不用走k条0边,…

CF739E Gosha is hunting 【WQS二分 + 期望】

题目链接 CF739E 题解抓住个数的期望即为概率之和使用$A$的期望为$p[i]$ 使用$B$的期望为$u[i]$ 都使用的期望为$p[i] + u[i] - u[i]p[i]$ 当然是用越多越好但是他很烦地给了个上限,我们就需要作出选择了有一个很明显的$O(n^3)$的$dp$,显然过不了但我们有一个很好的$WQS$二分我们非常想去掉这个上限那就去掉吧,但是每用一次都要付出一个代价我们二分这个代价,当使用次数恰好为为$a$和$b$时就是…

「学习笔记」wqs二分/dp凸优化

[学习笔记]wqs二分/DP凸优化从一个经典问题谈起: 有一个长度为 $n$ 的序列 $a$,要求找出恰好 $k$ 个不相交的连续子序列,使得这 $k$ 个序列的和最大 $1 \leq k \leq n \leq 10^5, -10^9 \leq a_i \leq 10^9$ 先假装都会 $1 \leq k \leq n \leq 1000$ 的 $dp$ 做法以及 $k = 1$ 的子问题实际上这个问题还可以是个费用流模型: 对于序列中每一个点 $i$…

洛谷P4383 [八省联考2018]林克卡特树lct(DP凸优化/wqs二分)

题目描述小L 最近沉迷于塞尔达传说:荒野之息(The Legend of Zelda: Breath of The Wild)无法自拔,他尤其喜欢游戏中的迷你挑战. 游戏中有一个叫做“LCT” 的挑战,它的规则是这样子的:现在有一个N 个点的树(Tree),每条边有一个整数边权vi ,若vi >= 0,表示走这条边会获得vi 的收益:若vi < 0 ,则表示走这条边需要支付- vi 的过路费.小L 需要控制主角Link 切掉(Cut)树上的恰好K 条边,然后再连接 K 条边权为 0 的边…

BZOJ2151 种树（贪心+堆+链表/wqs二分+动态规划）

dp容易想到,但没法进一步优化了. 考虑贪心,每次选出价值最大的物品.但这显然是不对的因为会影响其他物品的选择. 于是考虑加上反悔操作.每次选出一个物品后,将其相邻两物品删除,再将原物品价值变为相邻两物品价值和-原物品价值.这样如果再次选择该物品就可以达到改为选择相邻两物品的效果.并且最优方案中相邻两物品一定要么都选要么都不选,否则不如选择原物品. 这种带反悔的贪心策略似乎类似地在网络流算法中出现,应该是一个比较普遍的做法,然而并不会证. #include<iostream> #include…

WQS二分题集

WQS二分,一种优化一类特殊DP的方法. 很多最优化问题都是形如“一堆物品,取与不取之间有限制.现在规定只取k个,最大/小化总收益”. 这类问题最自然的想法是:设f[i][j]表示前i个取j个的最大收益,转移即可.复杂度O(n^2). 那么,如果在某些情况下,可以通过将问题稍作转化,变成一个不强制选k个的DP,而最后DP出来的最优解一定正好选了k个,那么问题就会简化很多. WQS二分就是基于这个思想. 首先考虑建一个二维坐标系,x轴是选的数的个数,y轴是最大收益,如果这个x-y图像有凸性,那么就…

[九省联考2018]林克卡特树(DP+wqs二分)

对于k=0和k=1的点,可以直接求树的直径. 然后对于60分,有一个重要的转化:就是求在树中找出k+1条点不相交的链后的最大连续边权和. 这个DP就好.$O(nk^2)$ 然后我们完全不可以想到,将best[k](选择k条链的答案)打表输出,更不可能然后作差分,发现得到的数组是递减的. 这说明:best[k]是一个上凸包. 于是我们可以二分一个斜率去切这个凸包(类似导数),根据切点横坐标与k的大小旋转直线(改变斜率). 考虑给你一个直线斜率k,怎么找到它和凸包的切点.实际上就相当于将这个凸函数减…