提议分析: 1 <= N <= 4747 很明显应该不会有规律的,打表发现真没有 按题意应该分成两种情况考虑,然后求其异或(SG函数性质) (1)找出单独的一个(一列中只有一个) (2)找出连续的两个都没有涂色的求SG值(打表) #include<stdio.h> #include<string.h> #define Max 4750 int dp[Max]; int mex[Max]; int flag[Max]; void Gsdp() { int i,j; int…

在一个2*N的格子上,Alice和Bob又开始了新游戏之旅. 这些格子中的一些已经被涂过色,Alice和Bob轮流在这些格子里进行涂色操作,使用两种涂色工具,第一种可以涂色任意一个格子,第二种可以涂色任意一个2*2的格子.每一轮游戏里,他们可以选择一种工具来涂色尚未被染色的格子.需要注意,涂色2*2的格子时,4个格子都应当未被涂色.最后一步涂满所有格子的玩家获胜. 一如既往,Alice先手,最优策略,谁是赢家? 在一个2*N的格子上染色 每次可以染1*1的格子 或者2*2的格子 最后涂满所有格子…

构造SG函数:sg[i]表示2*i的sg值!! 代码如下: #include<iostream> #include<stdio.h> #include<algorithm> #include<iomanip> #include<cmath> #include<cstring> #include<vector> #define ll __int64 #define pi acos(-1.0) #define MAX 5000…

[问题描述]小A 和小B 在做游戏.他们找到了一个n 行m 列呈网格状的画板.小A 拿出了p 支不同颜色的画笔,开始在上面涂色.看到小A 涂好的画板,小B 觉得颜色太单调了,于是把画板擦干净,希望涂上使它看起来不单调的颜色(当然,每个格子里只能涂一种颜色).小B 想知道一共有多少种不单调的涂色方案.我们定义一个涂色方案是不单调的,当且仅当任意相邻两列都出现了至少q 种颜色. 题解: 都能看出来这是道矩乘题.但是比较变态. 先不考虑矩阵,状态是f[ i ][ j ],指前i列已经填好,第i列共有j…

题目描述 小$A$和小$B$在做游戏.他们找到了一个$n$行$m$列呈网格状的画板.小$A$拿出了$p$支不同颜色的画笔,开始在上面涂色.看到小$A$涂好的画板,小$B$觉得颜色太单调了,于是把画板擦干净,希望涂上使它看起来不单调的颜色(当然,每个格子里只能涂一种颜色).小$B$想知道一共有多少种不单调的涂色方案.我们定义一个涂色方案是不单调的,当且仅当任意相邻两列都出现了至少$q$种颜色. 输入格式 一行四个整数$n,m,p,q$,意义如题中所述. 输出格式 一行一个整数,表示不单调的涂色方案…

/* 非常好的题 */ #include <cstdio> #include <iostream> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cmath> #include <queue> using namespace std; typedef long long ll; ,mod=; int c[N][N],s[N][N],…

题目描述 分析 定义出\(dp[i][j]\)为第\(i\)列涂\(j\)种颜色的方案数 然后我们要解决几个问题 首先是求出某一列涂恰好\(i\)种颜色的方案数\(d[i]\) 如果没有限制必须涂\(i\)种,而是有的颜色可以不涂,那么方案数为\(i^n\) 为了避免少涂的情况,我们减去只涂\(1 \sim i-1\)种颜色的方案数 即\(d[i]=i^n-\sum_{j=1}^{i-1}C_i^j \times d[j]\) 初始化为\(d[1]=1\) 接下来考虑转移 \(f[i][j]=f…

题目大意 用 \(p\) 种颜色填 \(n\times m\) 的画板,要求任意相邻两列的颜色数都不少于 \(q\) ,求方案数. 数据范围 \(1\leq n\leq 100,1\leq m\leq 10^9,q\leq p\leq 100\) 思路 观摩 \(m\) 的范围,显然需要一个 \(\log m\) 的做法,于是想到了矩阵快速幂. 首先考虑原始的转移.若当前一列涂上 \(j\) 种颜色,下一列要涂 \(k\) 种颜色,则方案数如下: \[\sum \limits_{x=\max(q…

题目描述 你有 1020 个格子,它们从 0 开始编号,初始时所有格子都还未染色,现在你按如下规则对它们染色: 编号是 p1 倍数的格子(包括 0号格子,下同)染成红色. 编号是 p2 倍数的格子染成蓝色. 编号既是 p1 倍数又是 p2 倍数的格子,你可以选择染成红色或者蓝色. 其中 p1 和 p2 是给定的整数,若格子编号是 p1 或 p2 的倍数则它必须要被染色.在忽略掉所有未染色格子后,你不希望存在 k个连续的格子颜色相同,因为你认为这种染色方案是无聊的.现在给定 p1, p2, k,你…

哎,被卡科技了,想了三个小时,最后还是大佬给我说是\(SG\)函数. \(SG\)函数,用起来很简单,证明呢?(不可能的,这辈子都是不可能的) \(SG\)定理 游戏的\(SG\)函数就是各个子游戏的\(SG\)函数的\(Nim-sum\)(就是异或和),比如多堆石子的\(SG\)函数就是所有单堆石子\(SG\)函数的异或和. \(SG\)函数 首先定义\(mex(T)\)为\(T\)中未出现的自然数中最小的数,其中\(T \subset N\),如\(mex(0,2,3)=1\),\(mex(…

有若干堆石子,两人轮流从中取石子,取走最后一个石子的人为胜利者 以下的性质是显然的 .无法移动的状态是必败态 .可以移动到必败态的局面一定是非必败态 .在必败态做所有操作的结果都是非必败态 在普通Nim游戏中,a1^a2^a3^……^an=0是必败态 如果没有限制每次可以取走的石子的数量的话,就不用引入SG函数了 否则 .可选步数为1~m的连续整数,直接取模即可,SG(x) = x % (m+); .可选步数为任意步,SG(x) = x; .可选步数为一系列不连续的数,用GetSG()计算 可以…

写这篇博客之前,花了许久时间来搞这个SG函数,倒是各路大神的论文看的多,却到底没几个看懂的.还好网上一些大牛博客还是性价比相当高的,多少理解了些,也自己通过做一些题加深了下了解. 既然是博弈,经典的NIM游戏不得不提一下,这也是要不断提醒自己别忘了NIM游戏才是SG函数由来的核心关键! 1. 若干堆石头. 2. 甲和乙轮流从任意堆中取任意个石头. 3. 谁不能取就输. 分析: 对于一个博弈来说,P-position表示previous,代表先手必败,即后手必胜,N-position表示next,…

巴什博奕: 两个顶尖聪明的人在玩游戏,有n个石子,每人可以随便拿1−m个石子,不能拿的人为败者,问谁会胜利 结论: 设当前的石子数为\(n=k∗(m+1)\)即\(n%(m+1)==0\)时先手一定失败 HDU1846 #include<iostream> using namespace std; int main() { int C,N,M; scanf("%d",&C); while(C--) { scanf("%d%d",&N,&a…

这个标题是不是看起来很厉害呢... 我们首先来看一个最简单的游戏.比如我现在有一堆石子,有p个,每次可以取走若干个(不能不取),不能取的人就输了. 现在假设有两个人要玩这个游戏,一个人先手,一个人后手,假设两个人都是足够聪明的AI,那么谁会赢? 显然p≠0时先手赢,他只要全部取完就行了... 我们先不管这个游戏有多傻逼,我们看一看这个游戏所隐含的模型. 比如我们把当前游戏局面抽象成一个点,把这个点往每下一步可以到达的新状态连一个边,这样就形成了一个有向无环图.(如果有环这个游戏就不会结束了) 现…

题意:有n个格子排成一行,其中一些格子里面有字符X.两个游戏者轮流操作,每次可以选一个空格,在里面放上字符X. 如果此时有3个连续的X出现,则该游戏者赢得比赛.初始条件下不会有3个X连续出现. 判断先手胜负情况,若必胜则升序输出先手第一步的所有可选必胜策略 n<=200 思路:如果有XX或者X.X出现则一定先手胜 一个结论:X的旁边和旁边的旁边不能放X 于是整个游戏被不能放X的区域分成了若干个独立的片段,每次都可以选择一个片段进行游戏,就是若干个游戏的和 由于每个棋盘片段都是连续的,想到用一个正…

转载自知乎牛客竞赛——博弈论入门(函数讲解+真题模板) SG函数 作用 对于一个状态i为先手必胜态当且仅当SG(i)!=0. 转移 那怎么得到SG函数尼. SG(i)=mex(SG(j))(状态i可以通过一步转移到j) 首先说一下mex.一个集合的mex是最小的没有出现在这个集合里的非负整数. 其实想一下这个也是挺明显的.状态i是先手必败态当前仅当i转移到的状态都是先手必胜态.同样,只要当前状态可以转移到一个先手必败态,那么当前就是先手必胜态. 小定理 对于两个独立的游戏A,B,他们的SG函数=…

本文始发于个人公众号:TechFlow,原创不易,求个关注 今天这篇是算法与数据结构专题的第27篇文章,我们继续深入博弈论问题.今天我们要介绍博弈论当中非常重要的一个定理和函数,通过它我们可以解决许多看起来杂乱无章的博弈问题,使得我们可以轻松地解决一大类博弈问题. 有了SG函数和SG定理,我们不再是单纯地通过构思.分析和找规律去解决问题了.并且我们之前学过的巴什博奕.威佐夫博弈以及Nim博弈都可以使用SG函数来解决,相当于我们找到了这一大类问题的通解.下面,我们来看几个基本定理和基本概念. 基本…

LINK:树论 不愧是我认识的出题人 出的题就是牛掰 == 他好像不认识我 考试的时候 只会写42 还有两个subtask写挂了 拿了37 确实两个subtask合起来只有5分的好成绩 父亲能转移到自己的子树内部的一点所以要从叶子结点往根考虑. 一个棋子的时候 单独某个点的SG函数不难推 这个点可以放到儿子任意一点 而儿子的SG函数值已知就很容易推出来了. 当然叶子结点的SG函数值为0. 显然整棵树的SG函数为异或和 可以看成若干个不交的游戏的组合. 考虑某个点两个棋子的时候的SG函数 经过不断…

Fibonacci again and again 利用SG函数求出每一堆的SG值,如果三个值的异或和为零 先手必败态,否则,先手必胜态. #include <bits/stdc++.h> #define scanf_d(a) scanf("%d",&a) #define scanf_dd(a,b) scanf("%d%d",&a,&b) #define maxn 1000+10 #define N 20 //#define DE…

首先理解sg函数必须先理解mex函数 mex是求除它集合内的最小大于等于0的整数,例:mex{1,2}=0:mex{2}=0:mex{0,1,2}=3:mex{0,5}=1. 而sg函数是啥呢? 对于任意状态 x , 定义 sg(x) = mex(f),其中f 是 x 后继状态的sg函数值的集合(就是上述mex中的数值).最后返回值(也就是sg(x))为0为必败点,不为零必胜点. 看不懂,咱直接来个例子: 例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么…

题目链接 题意 有一个\(n\)个珠子的环,两人轮流给环上的珠子涂色.规定每次涂色必须涂连续的\(m\)颗珠子,无法继续操作的人输.问先手能否赢. 思路 参考 转化 第一个人取完之后就变成了一条链,现只需要考虑这条链上的操作即可. SG函数计算 考虑在一个链上涂连续的\(m\)颗珠子这个问题的子问题,记当前有\(x\)颗珠子 \(x\lt m\) 显然已经无法涂了,故\(sg(x)=0\). \(x\geq m\) 设左边有\(i\)颗珠子,则右边有\((m-i)\)颗珠子.则该子问题的\(sg…

题意:针对Nim博弈,给定上一个集合,然后下面有 m 个询问,每个询问有 x 堆石子 ,问你每次只能从某一个堆中取出 y 个石子,并且这个 y 必须属于给定的集合,问你先手胜还是负. 析:一个很简单的博弈,对于每组数据,要先处理出SG函数, 然后使用组合游戏和来解决就ok了,对于求sg函数,很明显,就是求所有的mex,也就是未出现过的最小自然数.最后取异或就ok了. 代码如下: #pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000"…

简单取石子游戏,SG函数的简单应用. 有时间将Nim和.SG函数总结一下……暂且搁置. #include <cstdio> #include <cstring> #define N 1002 int n, T, m, sg[N]; bool vis[N]; int main() { scanf("%d", &T); while (T--) { scanf("%d%d", &n, &m); sg[0] = 0; for…

题目链接 题意 三堆石子,分别为\(m,n,p\)个,两人依次取石子,每次只能在一堆当中取,并且取的个数只能是斐波那契数.最后没石子可取的人为负.问先手会赢还是会输? 思路 直接按定义计算\(SG\)函数. Code #include <bits/stdc++.h> #define maxn 1000 using namespace std; typedef long long LL; int f[maxn+10], sg[maxn+10]; bool vis[maxn+10]; void i…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1848 Problem Description 任何一个大学生对菲波那契数列(Fibonacci numbers)应该都不会陌生,它是这样定义的:F(1)=1;F(2)=2;F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>=3);所以,1,2,3,5,8,13……就是菲波那契数列.在HDOJ上有不少相关的题目,比如1005 Fibonacci again就是曾经的浙江省赛题.今天,又一个关于Fibonacc…

https://vjudge.net/problem/HDU-3980 题意 一串长度为n的柱子,每个人只能给连续的珠子涂色,涂过的不能再涂,不能涂的人就输了,问最后谁获胜. 分析 第一个人先涂m个,就把环变成链了,先手就变为后手.现在考虑长度为N-M的链上的游戏,用子状态来推出当前状态,一个问题的结果是其子问题的结果的亦或,然后使用记忆化推出sg,就知道谁赢了. #include<iostream> #include<cmath> #include<cstring>…

SG函数 sg[i]为0表示i节点先手必败. 首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数.例如mex{0,1,2,4}=3.mex{2,3,5}=0.mex{}=0. 对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x] 例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那…

在介绍SG函数和SG定理之前我们先介绍介绍必胜点与必败点吧. 必胜点和必败点的概念:        P点:必败点,换而言之,就是谁处于此位置,则在双方操作正确的情况下必败.        N点:必胜点,处于此情况下,双方操作均正确的情况下必胜. 必胜点和必败点的性质:         1.所有终结点是 必败点 P .(我们以此为基本前提进行推理,换句话说,我们以此为假设)         2.从任何必胜点N 操作,至少有一种方式可以进入必败点 P.         3.无论如何操作,必败点P 都…

A Simple Nim Problem Description   Two players take turns picking candies from n heaps,the player who picks the last one will win the game.On each turn they can pick any number of candies which come from the same heap(picking no candy is not allowed)…

对于Nim博弈,任何奇异局势(a,b,c)都有a^b^c=0. 延伸: 任何奇异局势(a1, a2,… an)都满足 a1^a2^…^an=0 首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数. 例如mex{0,1,2,4}=3.mex{2,3,5}=0.mex{}=0. 对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Garundy函数g如下: g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 }. SG函数性…