问题 定义 \(\sigma_k(n)\) 表示 \(n\) 的所有约数的 \(k\) 次方和,即 \[\sigma_k(n)=\sum_{d\mid n}d^k \] 问题:求 \(\sigma_k(1),\sigma_k(2),\cdots,\sigma_k(n)\) . 线性筛 素数:直接 \(k\) 次方 . 没有的素因子:乘 \(k\) 次方 . 素因子:除掉再 \(k\) 次方 . 看不懂可以看 BZOJ2813 题解 . 杜教筛 令 \(\operatorname{Id}_k(n)…

目录 基本理论基础 数论函数 线性筛 Mobius 反演 Dirichlet 卷积 数论分块 / 整除分块 拆函数 时间复杂度分析 基本形式 GCD 形 万能 Prod 的莫比乌斯反演 正常例题 YY 的 GCD 数表 DZY Loves Math 约数个数和 数字表格 于神之怒加强版 jzptab 一个人的数论 2021 年写的:数论基础模板库(不保证正确性) ; Mobius 反演(内含 \(\mu\) 作容斥系数) 基本理论基础 规定素数集记做 \(\mathbb P\) . \(\gcd…

LOJ 题面传送门 首先将 \(\sigma_k(ij)\) 展开: \[\sigma_k(ij)=\sum\limits_{x\mid i}\sum\limits_{y\mid j}[x\perp y](\dfrac{iy}{x})^k \] 具体原理就是我们将一组 \(x\mid i,y\mid j,x\perp y\) 的因子对 \((x,y)\) 对应到一个 \(ij\) 的质因子 \(f(x,y)\) 上.考虑每一个质因子 \(p\),由于 \(x\perp y\) 这个限制的存在,\…

杜教筛 \(\) 是 \(\) 的前缀和,\(\), \(\) 同理. 假设 \( × = ℎ\) ,并且 \(, \) 易求出,\(\) 难求出. 那么 \[H () = \sum_{ \cdot ≤} () () = \sum_{≤} () (\frac {} {})\\ = f(1)\cdot () + \sum_{2≤≤} () (\frac {} {})\] 有: \[f(1)\cdot G(n)=H(n)-\sum_{2≤≤} () (\frac {} {}) \] 整除分块,可以在…

Help Hanzo 题意:求a~b间素数个数(1 ≤ a ≤ b < 231, b - a ≤ 100000).     (全题在文末) 题解: a~b枚举必定TLE,普通打表MLE,真是头疼.. b - a ≤ 100000 是关键. 类似素数筛的方法: 1.初始化vis[]=0 ; 2.素数的倍数vis[]=1; 3.  b较小时,素数筛解决   b很大时,素数筛的vis[]会MLE,此时用vis2[i-a]保存vis[i]就不会MLE 了.. #include<iostream>…

推导: 设d=gcd(i,j) 利用莫比乌斯函数的性质 令sum(x,y)=(x*(x+1)/2)*(y*(y+1)/2) 令T=d*t 设f(T)= T可以分块.又由于μ是积性函数,积性函数的约束和仍是积性函数,所以f也是积性函数,可以O(n)线性筛求得.总时间复杂度为 具体筛法看代码. 代码: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; #define mod…

2693: jzptab Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 1194  Solved: 455[Submit][Status][Discuss] Description Input 一个正整数T表示数据组数 接下来T行 每行两个正整数 表示N.M Output T行 每行一个整数 表示第i组数据的结果 Sample Input 1 4 5 Sample Output 122 HINT T <= 10000 N, M<=1000000…

2818: Gcd Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 4436  Solved: 1957[Submit][Status][Discuss] Description 给定整数N,求1<=x,y<=N且Gcd(x,y)为素数的数对(x,y)有多少对. 1<=N<=10^7 uva上做过gcd(x,y)=1的题 gcd(x,y)=p ---> gcd(x/p,y/p)=1 每个质数做一遍行了 答案是欧拉函数的前缀和*2…

欧拉筛模板题 #include<cstdio> using namespace std; const int N=40003; int num=0,prime[N],phi[N]; bool notp[N]; inline void shai(int n){ phi[1]=1; for(int i=2;i<=n;++i){ if (!notp[i]){ prime[++num]=i; phi[i]=i-1; } for(int j=1;j<=num&&i*prime…

素数筛 #include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> using namespace std; #define MAXN 47000 #define inf 100000000 bool z[MAXN]; int x[MAXN]; ]; ]; int main() { int a,b; ;i<=;i++) //可以从小的素数开始筛 { if(!z[i]) for(int j=i*i;j<MA…