BZOJ_3944_Sum_杜教筛 Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 学习下杜教筛,推一波式子. 首先有反演式子$\sum\limits_{d|n}\varphi(d)=…

[题目链接] http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244 [题目大意] 计算莫比乌斯函数的区段和 [题解] 利用杜教筛: 求F(n)=∑(f(i)) 存在g=f*I,定义G(n)=∑(g(i)) 就可以得到F(n)=G(n)-∑(F(n/i)) 加一些预处理我们可以做到O(n^(2/3))求解F(n) 我们知道积性函数∑(miu(d))=0(d|n),又有∑(miu(d))=1(n=1), 所以∑∑(miu…

[题目链接] https://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1237 [题目大意] 求[1,n][1,n]最大公约数之和 [题解] 枚举最大公约数k,得到答案为2*∑(k*phi_sum(n/k))-n*(n+1)/2 phi_sum可以利用杜教筛实现 [代码] #include <cstdio> #include <algorithm> using namespace std; typedef lon…

Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 正解:线性筛+杜教筛. 杜教筛板子题.然而感觉自己还不是很理解的样子.. 唐老师博客:http://blog.csdn.net/skyw…

1220 约数之和 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_1(ij)​\) \[ \sigma_0(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}[(x,y)=1]\\ \sigma_1(ij) = \sum_{x\mid i}\sum_{y\mid j}x\cdot\frac{j}{y}[(x,y)=1] \\ \] 怎么证明第二个式子? \[ \sigma_1(n) = \prod_i(1 + p_i + p_i^2 + ...…

4176: Lucas的数论 题意:求\(\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \sigma_0(ij)\) \(n \le 10^9\) 代入\(\sigma_0(nm)=\sum_{i\mid n}\sum_{j\mid m}[(i,j)=1]\) 反演得到 \[ \sum_{d=1}^n \mu(d) (g(\frac{n}{d}))^2 \\ g(n) = \sum_{i=1}^n \sigma_0(i) \] 杜教筛\(\mu \ \sigma_0\)的前缀和 当然和前面…

1222 最小公倍数计数 题意:求有多少数对\((a,b):a<b\)满足\(lcm(a,b) \in [1, n]\) \(n \le 10^{11}\) 卡内存! 枚举\(gcd, \frac{a}{gcd}, \frac{b}{gcd}\),然后\(\mu\)代入,就是 \[ \sum_{d=1}^{\sqrt{n}}\mu(d) \sum_i \sum_j \sum_k [ijk \le \frac{n}{d^2}] \] 问题就是怎么求后面的式子了 一开始我是 \[ f(n) = \s…

1237 最大公约数之和 V3 题意:求\(\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i,j)\) 令\(A(n)=\sum_{i=1}^n(n,i) = \sum_{d\mid n}d \cdot \varphi(\frac{n}{d})\) \(ans = 2*\sum_{i=1}^n A(i) -\sum_{i=1}^ni\) 套路推♂倒 \[ S(n) =\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}d \cdot \varphi(\frac{i}{d}) =\sum_{i…

hihocoder #1456 : Rikka with Lattice(杜教筛) 题意 : 给你一个\(n*m\)方格图,统计上面有多少个格点三角形,除了三个顶点,不覆盖其他的格点(包括边和内部). 答案对于\(998244353\)取模... (\(n,m \le 5 * 10^9\)) 题解 : 这个题十分的巧妙... 集训时是大佬ztzshiwo出的.. 据他所说,是不那么杜教筛的杜教筛QAQ 考试时候提示了一个皮克定理... 皮克定理: \[S=a+\frac{b}{2}-1\] \(…

[BZOJ4805]欧拉函数求和(杜教筛) 题面 BZOJ 题解 好久没写过了 正好看见了顺手切一下 令\[S(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)\] 设存在的某个积性函数\(g(x)\) \[(g*\varphi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[\sum_{i=1}^n(g*\varphi(i))(i)\] \[=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[=\sum…