指数型生成函数 我们知道普通型生成函数解决的是组合问题,而指数型生成函数解决的是排列问题 对于数列\(\{a_n\}\),我们定义其指数型生成函数为 \[G(x) = a_0 + a_1x + a_2\frac{x^2}{2!} + a_3\frac{x^3}{3!} + a_4\frac{x^4}{4!} + \dots = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} a_i\frac{x^i}{i!}\] 那么对于两个数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\),其对应成…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 首先考虑DP做法,正难则反,考虑所有情况减去不连通的情况: 而不连通的情况就是那个经典做法:选定一个划分点,枚举包含它的连通块,连通块以外的部分随便连(但不和连通块连通),合起来就是不连通的方案数: 设 \( f[i] \) 表示一共 \( i \) 个点时的连通方案数,\( g[i] \) 表示 \( i \) 个点随便连的方案数,即 \( g[i] = 2^{C_{i}^{2}}…

城市规划 时间限制:40s      空间限制:256MB 题目描述 刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.  刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案.  好了, 这就…

3456: 城市规划 题意:n个点组成的无向连通图个数 以前做过,今天复习一下 令\(f[n]\)为n个点的无向连通图个数 n个点的完全图个数为\(2^{\binom{n}{2}}\) 和Bell数的推导很类似,枚举第一个cc的点的个数 \[ 2^{\binom{n}{2}} = \sum_{i=1}^n \binom{n-1}{i-1} f(i) 2^{\binom{n-i}{2}} \] 整理后 \[ \frac{2^{\binom{n}{2}}}{(n-1)!} = \sum_{i=1}^…

题目链接 BZOJ3456 题解 真是一道经典好题,至此已经写了分治\(NTT\),多项式求逆,多项式求\(ln\)三种写法 我们发现我们要求的是大小为\(n\)无向联通图的数量 而\(n\)个点的无向图是由若干个无向联通图构成的 那么我们设\(F(x)\)为无向联通图数量的指数型生成函数 设\(G(x)\)为无向图数量的指数型生成函数 \(G(x)\)很好求 而 \[G(x) = \frac{F(x)}{1!} + \frac{F^2(x)}{2!} + \frac{F^3(x)}{3!} +…

题解 在我写过分治NTT,多项式求逆之后 我又一次写了多项式求ln 我们定义一个数列的指数型生成函数为 \(\sum_{i = 0}^{n} \frac{A_{i}}{i!} x^{i}\) 然后这个有个很好的性质,是什么呢,就是我们考虑两个排列\(A\)和\(B\),不改变原来的顺序,把它们合并成一个排列,方案数显然是 \(\binom{|A| + |B|}{|A|}\) 现在每个相同长度的排列\(A\)带有一个价值\(A_i\),\(B\)同理 \(C_{k} = \sum_{i = 0}^…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3456 分治FFT: 设 dp[ i ] 表示 i 个点时连通的方案数. 考虑算补集:连通的方案数 == 随便连方案数 - 不连通方案数 不连通方案数就和很久之前做过的“地震后的幻想乡”一样,枚举一个连通的点集,其中需要一直包含一个“划分点”保证不重复:其余部分随便连.注意还有从 i 个点里选 j 个点作为连通点集的那个组合数. \( dp[i]=2^{C^{2}_{i}} - \sum\l…

按理说Po姐姐三月份来讲课的时候我就应该学了 但是当时觉得比较难加上自己比较懒,所以就QAQ了 现在不得不重新弄一遍了 首先说多项式求ln 设G(x)=lnF(x) 我们两边求导可以得到G'(x)=F‘(x)/F(x) 则G(x)就是F’(x)/F(x)的积分 我们知道多项式求导和积分是O(n)的,多项式求逆是O(nlogn)的 所以总时间复杂度O(nlogn) 多项式求ln一般解决的问题是这样的 设多项式f表示一些奇怪的东西,由一些奇怪的东西有序组成的方案为 f^1+f^2+f^3…… 化简之…

我们构造$f(i)$和$g(i)$. 其中$f(x)$表示由$x$个节点构成的无向简单连通图的个数. $g(x)$表示有$x$个节点构成的无向简单图(不要求连通)的个数. 显然,由$x$个节点构成的无向简单图最多能有$\binom{x}{2}$条边,那么$g(x)=2^{\binom{x}{2}}$. 然后我们构造$f(x)$和$g(x)$的$EGF$: $F(x)=\sum_{i=0}^{\infty} f(i) \times \frac{x^i}{i!}$. $G(x)=\sum_{i=0}…

题目链接 洛谷T30212 题解 式子很容易推出来,二项式定理展开后对于\(k\)的答案即可化简为如下: \[k!(\sum\limits_{i = 0}^{k} \frac{\sum\limits_{x = 1}^{n} a_x^{i}}{i!} \centerdot \frac{\sum\limits_{x = 1}^{n} b_x^{k - i}}{(k - i)!})\] 是一个卷积的形式 我们只需对所有\(k\)预处理出\(\sum\limits_{i = 1}^{n} a_i^{k}…