BZOJ5206: [Jsoi2017]原力 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5206 分析: 比较厉害的三元环问题. 设立阈值,当点的度数大于根号时,考虑直接枚举三个点算答案. 否则,只需要考虑存在一个点度数小于等于根号的情况,枚举这个点,枚举它的两个出边即可,需要保证它是所选三个点中度数小于根号的编号最小的一个. 如果距离用\(map\)存,时间复杂度会多一个\(\log\) 代码: #include <cstdio> #inclu…

这是一个三元环计数的裸题,只是多了一个颜色的区分和权值的计算罢了. 有一种根号分治的做法(by gxz) 这种复杂度的证明特别显然,思路非常简单,不过带一个log,可以用unordered_map或者bitset之类的$O(1)$判连通. 我的做法的话采用了一个比较奇怪的思路?每条边,度数大的点向度数小的点连有向边,然后枚举第一层点,枚举出发到达的第二层点,这两层加起来复杂度总的是$O(m)$,然后从第二层点枚举出边到第三层点,看第三层点和第一层点是不是连通的,这个复杂度我好像在这里写过证明,就…

首先将完全相同的边的权值累加.考虑这样一种trick:给边确定一个方向,由度数小的连向度数大的,若度数相同则由编号小的连向编号大的.这样显然会得到一个DAG.那么原图的三元环中就一定有且仅有一个点有两条入边了.并且每个点的出度不会超过√m,因为假设一个点连出了x条边那么其所连向的每个点也至少会有x条出边.先将每个点的所有出边按终点编号排序.然后枚举一条边,对其两端点的出边用双指针计算一下其中有多少重复点即可.这样每个环只会被计算一次.复杂度O(mlogm+m√m). 没地方交所以懒得写了.…

LINK:原力 一张无向图 这道题统计三元环的价值和.有重边但是无自环. 我曾经写过三元环计数 这个和那个题差不太多. 不过有很多额外操作 对于重边问题 我们把所有颜色相同的重边缩在一起 这样的话我们就可以针对点来运算了. 不过这样做开邻接表就很困难了 (直接map爽... 接下来是正规的三元环计数了 我们考虑重新建图 度数小的连向度数大的 度数相等的由编号小的连向编号大的. 可以暴力枚举每个点 标记所到达的点(暴力枚举合并过后的边 再枚举一条边去统计答案 这样就完事了. 可以观察一下复杂度 外…

[BZOJ5332][SDOI2018]旧试题(数论,三元环计数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 如果只有一个\(\sum\),那么我们可以枚举每个答案的出现次数. 首先约数个数这个东西很不爽,就搞一搞,变成\(\displaystyle \sum_{d|i}1\) 那么原式就可以写成:\(\displaystyle \sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C\sum_{d=1}^Ad|ijk\). 既然\(d|ijk\),意味着\(d\)可以分别拆成\(i\)的一个…

传送门 好久没有做过图论题了-- 考虑\(k\)次方的组合意义,实际上,要求的所有方案中导出子图边数的\(k\)次方,等价于有顺序地选出其中\(k\)条边,计算它们在哪一些图中出现过,将所有方案计算出来的答案加起来. 对于\(k\)条边来说,如果它们占据了\(x\)个点,那么它们就会出现在\(2^{n-x}\)张图中. 那么\(k=1\)答案显然是\(m \times 2^{n-2}\) \(k=2\)时有\(3\)种情况:①两条边重合,等价于\(k=1\):②两条边不重合但共一个顶点,对于一条…

题目大意: 给定\(a, b, c\),求\(\sum \limits_{i = 1}^a \sum \limits_{j = 1}^b \sum \limits_{k = 1}^c [(i, j) = 1][(j, k) = 1][(i, k) = 1]\) $a, b, c \leq 5*10^4 $ 首先莫比乌斯反演 $Ans = \sum \limits_{i = 1}^a \sum \limits_{j = 1}^b \sum \limits_{k = 1}^c [(i, j) = 1…

题面 传送门(bzoj) 传送门(CF) \(llx\)身边妹子成群,这天他需要从\(n\)个妹子中挑出\(3\)个出去浪,但是妹子之间会有冲突,表现为\(i,j\)之间连有一条边\((i,j)\),定义一种选择方案的权值为\(Ai+Bj+Ck,i<j<k\),求所有选择方案的权值之和 题解 容斥,至少\(0\)条边相连的方案\(-\)至少\(1\)条边相连的方案\(+\)至少\(2\)条边相连的方案\(-\)至少\(3\)条边相连的方案 至少\(3\)条边相连的方案最难数,是个三元环计数,和…

hdu 6184 Counting Stars(三元环计数) 题意: 给一张n个点m条边的无向图,问有多少个\(A-structure\) 其中\(A-structure\)满足\(V=(A,B,C,D)\) && \(E=(AB,BC,CD,DA,AC)\) 显然\(A-structure\)是由两个有公共边的三元环构成的 \(1 <=n <= 1e5\) \(1 <= m <= min(2e5,n*(n-1)/2)\) 思路: 三元环计数 做法1. ①统计每个点…

传送门 这道题的思路似乎可以给很多同时枚举三个量的反演题目提供一个很好的启发-- 首先有结论:\(d(ijk) = \sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}\sum\limits_{z|k}[x \perp y][y \perp z][x \perp z]\).正确性证明考虑:对于质数\(p\),设\(i,j,k\)中质因子\(p\)的个数为\(a,b,c\).在\(x,y,z\)中至多只能有\(1\)个数含质因子\(p\),有以下情况:\(x,y,z\)中都没有\(…