[大坑]FFT学习 Macros #define fon(i,s) for(int i=0;i<s; ++i) #define fone(i,s) for(int i=0;i<=s;++i) #define fox(i,f,t) for(int i=f;i<t; ++i) #define foxe(i,f,t) for(int i=f;i<=t;++i) #define don(i,s) for(int i=s;i; --i) #define done(i,s) for(int i…

定义 多项式 系数表示法 设\(A(x)\)表示一个\(n-1\)次多项式,则所有项的系数组成的\(n\)维向量\((a_0,a_1,a_2,\dots,a_{n-1})\)唯一确定了这个多项式. 即 \[A(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i\] \[=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}\] 点值表示法 将\(n\)个互不相同的\(x\)代入多项式,会得到\(n\)个互不相同的取值\(y\).设他们组成的\(n\)维向量分别…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 写在前面 一些约定 循环卷积 DFT卷积的本质 Bluestein's Algorithm 例题 分治FFT 例题 FFT的弱常数优化 复杂算式中减少FFT次数 例题 利用循环卷积 小范围暴力 例题 快速幂乘法次数的优化 FFT的强常数优化 DF…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) 写在前面 为什么写这篇博客 一些约定 前置知识 多项式卷积 多项式的系数表达式和点值表达式 单位根及其性质 DFT和IDFT DFT的过程 IDFT的过程 FFT FFT的数学证明及时间复杂度分析 FFT的递归实现 FFT的非递归实现 FFT的局限性 例题 写在前面 为什么写这篇博客 笔者去年暑假刚刚学习过FFT,NTT的一些基础应用.但当时对FFT和NTT的理解还不够深入.本博客参考2016年国家…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二)(NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二)(NTT) 写在前面 一些约定 前置知识 同余类和剩余系 欧拉定理 阶 原根 求原根 NTT NTT的定义 从单位根到原根 常用NTT模数表 NTT的实现 写在前面 为了不使篇幅过长,预计将把学习笔记分为四部分: DFT,IDFT,FFT的定义,实现与证明:快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) NTT的实现与证明:快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二) 任意模数NTT与FFT的优化技巧…

前言(不想听的可以跳到下面) OK.蒟蒻又来口胡了. 自从ZJOI2019上Day的数论课上的多项式听到懵逼了,所以我就下定决心要学好多项式.感觉自己以前学的多项式都是假的. 但是一直在咕咕,现在是中午,一个早上的努力就完成了FFT的学习,其实并没有想象中的那么难. 文笔较渣,想到什么就写什么,可能逻辑性比较差,来回看个几遍差不多就懂了. 介绍 先简单介绍一下FFT(Fast Fourier Transformation) ,中文全名叫做快速傅里叶变换. 应用在加速多项式的乘法,或者是高精度加速…

什么是FFT 既然打开了这篇博客,大家肯定都已经对FFT(Fast Fourier Transformation)有一点点了解了吧 FFT即为快速傅里叶变换,可以快速求卷积(当然不止这一些应用,但是我不会) 系数表示法与点值表示法 我们通常表示一个\(n-1\)次多项式是利用系数表示法like this:\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_{n-1}x^{n-1}\) 点值表示法即为将多项式用坐标系上的若干个点表示 我们对这个多项式代入不同的值{\(x_1,x_2,...,…

现在真是一碰电脑就很颓废啊... 于是早晨把电脑锁上然后在旁边啃了一节课多的算导, 把FFT的基本原理整明白了.. 但是我并不觉得自己能讲明白... Fast Fourier Transformation, 快速傅里叶变换, 是DFT(Discrete Fourier Transform, 离散傅里叶变换)的快速实现版本. 据说在信号处理领域广泛的应用, 而且在OI中也有广泛的应用(比如SDOI2017 R2至少考了两道), 所以有必要学习一波.. 划重点: 其实学习FFT最好的教材是<算法导论…

FFT学得还是有点模糊,原理那些基本还是算有所理解了吧,不过自己推这个推不动. 看的资料主要有这两个: http://blog.miskcoo.com/2015/04/polynomial-multiplication-and-fast-fourier-transform https://www.zybuluo.com/397915842/note/37965 这儿简单做做笔记. 多项式点值表示 首先$FFT$可以用来快速计算两个多项式的乘积. 一个$n$次多项式(最高次为$n$),可以用系数表…

快速傅里叶变换FFT(Fast Fourior Transform) 先说一下它能干嘛qwq ​ 傅里叶变换有两种,连续傅里叶变换和离散傅里叶变换,OI中主要用来快速计算多项式卷积. 等一下,卷积是啥>> ​ 卷积可以通俗地理解成把两个多项式相乘,比如 : \((x^2+x)*(x+2)=x^3+2x^2+2x\) ​ 对于多项式的系数来说,就是求这个柿子: ​ 给定两个多项式 \(A(x), B(x):​\) ​ \[ A(x)=\sum_{i=0}^{n-1} {a_ix^i} \] \[…