BSGS算法及扩展

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BSGS算法及其扩展

bsgs算法: 我们在逆元里曾经讲到过如何用殴几里得求一个同余方程的整数解.而$bsgs$就是用来求一个指数同余方程的最小整数解的:也就是对于$a^x\equiv b \mod p$ 我们可以用$bsgs$在$O(\sqrt n)$ 的复杂度内求出关于$x$的最小正整数解.(前提是$p$为质数) $a^x\equiv b \mod p$ 我们可以知道如果我们的模数p是一个质数,我们将同余式的右边以逆元的形式乘到左边来,根据殴拉定理(因为p是质数,所以a,p互质)则我们…

BSGS算法 $Baby Step Giant Step$算法,即大步小步算法,缩写为$BSGS$ 拔山盖世算法它是用来解决这样一类问题 $y^x = z (mod\ p)$,给定$y,z,p>=1$求解$x$ 普通的$BSGS$只能用来解决$gcd(y,p)=1$的情况设$x=a*m+b, m=\lceil \sqrt p \rceil, a\in[0,m), b\in[0,m)$ 那么$y^{a*m}=z*y^{-b} (mod\ p)$ 怎么求解,为…

BSGS算法学习笔记

从这里开始离散对数和BSGS算法扩展BSGS算法离散对数和BSGS算法设$x$是最小的非负整数使得$a^{x}\equiv b\ \ \ \pmod{m}$,则$x$是$b$以$a$为底的离散对数,记为$x = ind_{a}b$. 假如给定$a, b, m$,考虑如何求$x$,或者输出无解,先考虑$(a, m) = 1$的情况. 定理1(欧拉定理) 若$(a, m) = 1$,则$a^{\varphi(m)}\equiv 1 \pmod{m}$. 证明这里就不给出,因为在百度上随便搜一…

BSGS算法总结

BSGS算法总结 $BSGS$算法(Baby Step Giant Step),即大步小步算法,用于解决这样一个问题: 求$y^x\equiv z\ (mod\ p)$的最小正整数解. 前提条件是$(y,p)=1$. 我们选定一个大步长$m=\sqrt p + 1$,设$x=am+b$,那么显然有$a,b\in[0,m)$.这样就有$y^{am+b}\equiv z\ (mod\ p)$,就有$(y^m)^a=z*y^{-b}\ (mod\ p)$. 但是这个逆元…

BSGS算法+逆元 POJ 2417 Discrete Logging

POJ 2417 Discrete Logging Time Limit: 5000MS Memory Limit: 65536K Total Submissions: 4860 Accepted: 2211 Description Given a prime P, 2 <= P < 231, an integer B, 2 <= B < P, and an integer N, 1 <= N < P, compute the discrete logarith…

BSGS算法解析

前置芝士: 1.快速幂(用于求一个数的幂次方) 2.STL里的map(快速查找) 详解 BSGS 算法适用于解决高次同余方程 $a^x\equiv b (mod p)$ 由费马小定理可得 x <= p-1 我们设 $m = sqrt(p)$ 至于为什么写,下文会讲到. 那么$x$就可以用 $m$ 表示出来. 即 x = $k \times m - j$ 移项可得 $a^t \equiv b\times a^j$ 其中 t = $k \times m$ 这也就是我们为什…