评:如果不需要精确到3,上界的求法可以利用$$(1+\frac{1}{n})^n*\frac{1}{2}*\frac{1}{2}<(\frac{n+\frac{1}{n}*n+\frac{1}{2}*2}{n+2})^{n+2}=1$$显得更简单些…

评:舒尔的想法是美妙的,当然他本身也有很多意义,在机械化证明的理念里,它也占据了一方田地.…

已知数列$ x_n $满足$ 0<x_1<x_2<\pi $,且\begin{equation*} x_{n+1}= \left\{ \begin{aligned}x_n+\sin x_n&,x_n\le x_{n-1}\\x_n+\cos x_n&,x_n> x_{n-1}\end{aligned} \right.\end{equation*}证明:$x_4>x_3$且$0<x_n<\pi$ 证明:由定义$x_3=x_2+\cos x_2$若$…

已知数列$\{a_n\}$满足$a_1=\dfrac{1}{2},a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right),S_n$ 为$\{a_n\}$的前$n$项和,求证:$S_n>n-\dfrac{5}{2}$ 证明:显然$a_n\in(0,1)$故由约旦不等式: $a_{n+1}=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}a_n\right)\ge\dfrac{2}{\pi}\cdot(\dfrac{\pi}{2}a_n)=a_n$, 即$a_n$单调递…

这种构造二次函数的方法最早接触的应该是在证明柯西不等式时: 再举一例: 最后再举个反向不等式的例子: 评:此类题目的证明是如何想到的呢?他们都有一个明显的特征$AB\ge(\le)C^2$,此时构造二次函数利用$\Delta$证明,效果非常理想.…

已知 $a,b,c\in\mathbb R$,求证:$|a|+|b|+|c|+|a+b+c|\geqslant |a+b|+|b+c|+|c+a|$ 分析:不妨设$c=\max\{a,b,c\},\dfrac{a}{c}=x,\dfrac{b}{c}=y$两边同除$|c|$后只需证明 $|x|+|y|+1+|x+y+1|\ge|x+y|+|y+1|+|x+1|$注意到恒等式$|x|+|y|+|z|=\max\{|x+y+z|,|x+y-z|,|x-y+z|,|x-y-z|\}$,易得. 练习:…

证明: 评: 可以思考$\frac{1}{(1+b)^2}+\frac{1}{(1+a)^2}$与$\frac{2}{(1+\sqrt{ab})^2}$大小.…

[从最简单的做起]--波利亚 请看下面三道循序渐进不断加细的题. 评:随着右边的不断加细,解决问题的方法也越来越"高端".当然最佳值$ln2$我们可以用相对 容易的方法来证明: $\because ln(2k+1)-ln(2k-1)>\frac{1}{k}$两边$k$从$n+1$取到$2n$得$$ln2>\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{n+k}}$$…

评:切线不等式和琴生(Jesen)不等式都是有其几何意义的,在对称式中每一项单变量后利用图像的凹凸性得到一个线性的关系式.已知的条件往往就是线性条件,从而可以得到最值.…

证明 如果: 函数 y=ax^2+2bx+c 对任意x >=0 时 y>=0; 函数图象在全部x轴上方,故二次方程判别式 b^2-4ac<=0;(即方程无实数解) 即(2b)^2<=4ac  =>  b^2<ac; 注意:上面g(x0)A(x0-B/1)^2 中X0-B/A 应该表示成(X0+B/A);参考判别式: http://baike.baidu.com/link?url=pwwiWoBpl4yNww_tA7mbm3tcZsIYGuw40GScqkgYiUUsyk…