题意 题目链接 Sol 首先若y % x不为0则答案为0 否则,问题可以转化为,有多少个数列满足和为y/x,且整个序列的gcd=1 考虑容斥,设\(g[i]\)表示满足和为\(i\)的序列的方案数,显然\(g[i] = 2^{i-1}\)(插板后每空位放不放) 同时还可以枚举一下gcd,设\(f[i]\)表示满足和为\(i\)且所有数的gcd为1的方案,\(g[i] = \sum_{d | i} f[\frac{n}{d}]\) 反演一下,\(f[i] = \sum_{d | i} \mu(d)…

[CF900D]Unusual Sequences 题意:定义正整数序列$a_1,a_2...a_n$是合法的,当且仅当$gcd(a_1,a_2...a_n)=x$且$a_1+a_2+...+a_n=y$.给定x,y,求合法的序列总数. x,y<=10^9. 题解:不难想到容斥,先不管gcd的限制,那么总方案数就是$2^{y-1}$.你可以理解为有y个1,除了第一个1,其余的要么加到上一个数中去,要么自己变成一个新数. 如果考虑gcd的限制呢?容斥一发即可.并且容斥系数就是我们常用的莫比乌斯函数…

vjudge 题面传送门 首先我们知道斐波那契数列的 lcm 是不太容易计算的,但是它们的 gcd 非常容易计算--\(\gcd(f_x,f_y)=f_{\gcd(x,y)}\),该性质已在我的这篇博客中给出了详细证明,这里就不再赘述了. 考虑怎样将 LCM 转化为 gcd,注意到有个东西叫 Min-Max 容斥,即对于集合 \(S\),\(\max(S)=\sum\limits_{\varnothing\ne T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min(T)\),该性质同样可以…

Description 求第k个没有完全平方因子的数,k<=1e9. Solution 这其实就是要求第k个µ[i](莫比乌斯函数)不为0的数. 然而k太大数组开不下来是吧,于是这么处理. 二分答案x,问题转化为求[1,x]间有多少个没有完全平方因子的数. 容斥,加上全部,减去一个质数的平方的倍数个数,加上两个质数乘积的平方的倍数个数... 然后发现,每个数的系数就是µ 这也说明了莫比乌斯的原理就是容斥,µ函数就是容斥系数 具体来说,对于每一个i<=sqrt(x),对于ans的贡献就是µ[i]…

题目:bzoj 2005 https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2005   洛谷 P1447 https://www.luogu.org/problemnew/show/P1447 首先,题意就是求 ∑(1 <= i <= n) ∑(1 <= j <= m) [ 2 * gcd(i,j) -1 ]: 方法1:容斥原理 枚举每个数作为 gcd 被算了几次: 对于 d ,算的次数 f[d] 就是 n/d 和 m/d 中互质的…

题意:\( g(k) = 2^{f(k)} \) ,求\( \sum_{i = 1}^{n} g(i) \),其中\( f(k)\)代表k的素因子个数. 思路:题目意思很简单,但是着重于推导和简化,这是数论题的一贯思路,其中g(k)的方程可以看出是求k的无平方因子的个数,那么题目就是求1~n的无平方因字数的和了. 首先我们可以从莫比乌斯函数入手. 从\( \mu(d) \)的性质有,当d为素数单次连积时\( \mu(d)=(-1)^k\),其余d不为1时\( \mu(d)=0\) 那么可知\(…

题目链接 \(Description\) 给定n个数(\(1\leq a_i\leq 5*10^5\)),每次从这n个数中选一个,如果当前集合中没有就加入集合,有就从集合中删去.每次操作后输出集合中互质的数对个数. \(Solution1\) 考虑暴力一点,对于要修改的数分解质因数,集合中与它互质的数的个数就是 n-(有1个公共质因数)+(有2个公共质因数)-... 维护一下每种因子(可以是多个因数的积)对应集合中的多少个数就行. 真的好暴力..但是一个数的质因子大多也就4.5个,so是没问题的…

4833: [Lydsy1704月赛]最小公倍佩尔数 Time Limit: 8 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 240  Solved: 118[Submit][Status][Discuss] Description 令(1+sqrt(2))^n=e(n)+f(n)*sqrt(2),其中e(n),f(n)都是整数,显然有(1-sqrt(2))^n=e(n)-f(n)*sqrt(2).令g( n)表示f(1),f(2)…f(n)的最小公倍数,给定两个正整数n和…

$n,m <= 1e5$ ,$i<=n$,$j<=m$,求$(i⊥j)$对数 /** @Date : 2017-09-26 23:01:05 * @FileName: HDU 2841 容斥 或 反演.cpp * @Platform: Windows * @Author : Lweleth (SoungEarlf@gmail.com) * @Link : https://github.com/ * @Version : $Id$ */ #include <bits/stdc++.h…

[题解][HAOI2018]染色(NTT+容斥/二项式反演) 可以直接写出式子: \[ f(x)={m \choose x}n!{(\dfrac 1 {(Sx)!})}^x(m-x)^{n-Sx}\dfrac 1 {(n-Sx)!} \] \(f(x)\) 钦定有\(x\)种颜色出现了恰好\(S\)的方案 然后推一下恰好有\(x\)种颜色出现了恰好\(S\)次的方案\(g(x)\) .推导在下下面. 最后的答案是\(\sum w_i g(i)\) 推导: 显然颜色种类不会超过\(L=\lfloo…

//待更qwq 反演原理 二项式反演 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i {\binom ij} f_j\] , 则有 \[ f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^{i-j} {i \choose j} g_j \] 同时, 若 \[g_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} f_j\] , 则有 \[f_i=\sum_{j=1}^i (-1)^j {i \choose j} g_j\] 通过反演原理和组合数的性质不难证明. 0/1? todo Sti…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4671 考虑计算不是连通图的方案,乘上容斥系数来进行容斥. 可以枚举子集划分(复杂度是O(Bell)).就是 dfs ,记录已经有了几个集合,枚举当前元素放在哪个集合里(给它标一个 id )或者当前元素自己开一个集合. 然后就有了限制:不同点集之间不能有边.本来想限制同一点集必须是连通的,但不好限制,所以就不限制了,把这部分的影响算在容斥系数里. 如果限制不同点集之间不能有边,可以考虑高斯消…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4671 首先,考虑容斥,就是设 \( t[i] \) 表示至少有 \( i \) 个连通块的方案数: 我们希望得到恰好有一个连通块的方案数,但这里不能直接 \( + t[1] - t[2] + t[3] - t[4] ... \),因为每个“恰好 \( i \) 个连通块”的情况并不是在各种 \( t[j] ( j<=i ) \) 中只被算了一次,而是因为标号,被算了 \( S(i,j) \…

传送门 题意: 给出\(s,s\leq 60\)张图,每张图都有\(n,n\leq 10\)个点. 现在问有多少个图的子集,满足这些图的边"异或"起来后,这张图为连通图. 思路: 直接考虑判断图的连通不好判断,所以考虑枚举连通块来进行容斥. 定义\(f_i\)表示有\(i\)个连通块的答案,发现连通块这个东西也不好处理,我们只能处理出有多少个连通块,但无法确定每个连通块内部的连通关系. 定义\(g_i\)为至少有\(i\)个连通块的方案数,那么就有关系式:\(\displaystyle…

题目描述:输入一个大小为\(n\)的集合\(S\),求\(\text{lcm}_{k\in S}f_k\),其中\(f_k\)是第$$个Fibonacci数. 数据范围:\(n\le 5\times 10^4,u\le 10^6\) 数论经典题? 首先你要想到min-max容斥. \[ \text{lcm}(f_S)=\prod_{\varnothing\ne T\subseteq S}\gcd(f_T)^{(-1)^{|T|-1}} \] 然后你知道\(\gcd(f_a,f_b)=f_\gcd…

[传送门[(http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1518) 解题思路 直接算不好算,考虑容斥,但并不能把行和列一起加进去容斥,这会使时间复杂度非常高,那么就考虑枚举行后\(dp\).设\(f[i]\)表示存在\(i\)列有线,任意一行无线的方案数,\(g[i[\)表示至少有\(i\)列有线,任意一行无线的方案数,那么 \[g[i]=\sum\limits_{k=i}^n C(i,k)f[i]\] 二项式反演得 \[f[0…

题目本质: 首先有如下结论: 而通过写一写可以发现: 举例来讲,36及其倍数的数,会被1的倍数加一遍,被4的倍数扣一遍,会被9的倍数扣一遍,而为了最终计数为0,需要再加回来一遍,所以在容斥里面是正号. 对于36有:6 = 2 * 3,mu[6] = 1:而同时对比16有:4 = 2 * 2,mu[4] = 0:9有:3 = emmm,mu[3] = -1. 枚举到2时,2*2的倍数被扣一遍:枚举到3时,3*3的倍数被扣一遍:枚举到4时,因为它最终只需要扣一遍,而现在已经满足了,所以跳过:枚举到6…

Count the number of distinct sequences a1, a2, ..., an (1 ≤ ai) consisting of positive integers such that gcd(a1, a2, ..., an) = x and . As this number could be large, print the answer modulo 109 + 7. gcd here means the greatest common divisor. Input…

看到\( 10^10 \)的范围首先想到二分,然后把问题转化为判断\( [1,n] \)内有多少个是某个质数的平方和的数. 所以应该是加上是一个质数的平方的个数减去是两个质数的平方的个数加上是三个质数的平方的个数--注意到这正好是莫比乌斯函数反过来,所以 \( re-=mb[i]*n/(i*i) \) 即可 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=300005; int p[N],to…

LINK:游戏 还是过于弱鸡 没看出来是个二项式反演,虽然学过一遍 但印象不深刻. 二项式反演:有两种形式 一种是以恰好和至多的转换 一种是恰好和至少得转换. 设\(f_i\)表示至多的方案数 \(g_i\)表示恰好的方案. 则有 \(f_n=\sum_{i=0}^nC(n,i)\cdot g_i\) 根据二项式反演则有 \(g_n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\cdot C(n,i)\cdot f_i\) 设\(f_i\)表示至少的方案数 \(g_i\)表示恰好的方案. 则有…

我不是传送门 题意 : 中文题目不解释 求gcd(x,y) = k (a<=x<=b, c<=y<=d); 根据gcd(ka,kb) = k*gcd(a,b), 可将问题转化为求gcd(a/k, b/k) = 1; 再由容斥定理可得到gcd(x,y) = gcd(b,d)- gcd(a,d)- gcd(c,b)+ gcd(a,c); 再套上莫比乌斯反演的模板, 嗯, 然后就能得到一次TE; 正解 : 容斥+莫比乌斯反演+分块优化: 分块优化 : 考虑到[n/i].[m/i]都会有大…

这道题,先说一下单色三角形吧,推荐一篇noip的论文<国家集训队2003论文集许智磊> 链接:https://wenku.baidu.com/view/e87725c52cc58bd63186bd1b.html?from=search 单色三角形指的是n个顶点,有n(n-1)条边,很明显是每个点两两相连,那么这样所形成的所有三角形的边假如有两种颜色:红和黑.那么问一共有多少三角形的三边是一种颜色的个数. ,建议看一下那个论文,因为我只能直接给出你结论.  下面的数学符号:{...}为概率论中表…

[Update] 我好像现在都看不懂我当时在写什么了=-= \(Description\) 求\(\sum_{i=a}^b\sum_{j=c}^d[(i,j)=k]\) \(Solution\) 首先是把下界作为1.可以化为求 \[\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{N}{k}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{M}{k}\rfloor}[(i,j)=1]\] 说明:大概就我不能直接看出来了.. 首先要求\([1,N]\)中有多少\(i,i|k\),再…

2005: [Noi2010]能量采集 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 552 MBSubmit: 4493  Solved: 2695[Submit][Status][Discuss] Description 栋栋有一块长方形的地,他在地上种了一种能量植物,这种植物可以采集太阳光的能量.在这些植物采集能量后, 栋栋再使用一个能量汇集机器把这些植物采集到的能量汇集到一起. 栋栋的植物种得非常整齐,一共有n列,每列 有m棵,植物的横竖间距都一样,因此对于每一棵植…

GCD Time Limit: 6000/3000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 4141    Accepted Submission(s): 1441 Problem Description Given 5 integers: a, b, c, d, k, you're to find x in a...b, y in c...d that GCD(x, y)…

名字虽然很长.但是其实很简单,对于这一类问题基本上就是看你能不能把统计的公式搞出来(这时候需要一个会推公式的队友) 来源于某次cf的一道题,盼望上紫的我让潘学姐帮我代打一道题,她看了看跟我说了题解,用反演写的,然后……还是错了23333.赛后题解给出的是用容斥原理解决问题,但是我并看不懂学姐的公式,也还不懂莫比乌斯反演的第二种形式.直到最近刚看,才恍然大悟. 这类问题的特点是,给一个集合,问所有子集的w(gcd(某个子集))的和问题(w表示某个函数,一般是跟子集长度有关). 可以做出两个函数.…

刚开始看题,想了一会想到了一种容斥的做法.复杂度O( n(3/2) )但是因为题目上说有3000组测试数据,然后吓尿.完全不敢写. 然后想别的方法. 唉,最近精神有点问题,昨天从打完bc开始想到1点多,没想到什么好的方法,然后躺床上睡不着,迷迷糊糊又好像挺清醒的,大概想到了用莫比乌斯反演的一种解法,初略的证明了一下发现应该是对的,然后才逐渐有困意,大概也快天亮了... 这种事发生了好几次了.上次在证明莫比乌斯反演的时候也是想到快5点才想出来. 感觉整个人都不好了.. 题目: 求在区间[1,b]和…

题目描述 对于给出的n个询问,每次求有多少个数对(x,y),满足a≤x≤b,c≤y≤d,且gcd(x,y) = k,gcd(x,y)函数为x和y的最大公约数. 输入输出格式 输入格式: 第一行一个整数n,接下来n行每行五个整数,分别表示a.b.c.d.k 输出格式: 共n行,每行一个整数表示满足要求的数对(x,y)的个数 输入输出样例 输入样例#1: 复制 2 2 5 1 5 1 1 5 1 5 2 输出样例#1: 复制 14 3 说明 100%的数据满足:1≤n≤50000,1≤a≤b≤500…

这个题是刚才刷的第一道反演题的拓展版,加上一个容斥就可以了 #include<cstdio> #include<algorithm> using std::min; ; int cnt,a,b,c,d,k; long long ans; bool vis[maxn]; int mu[maxn],sum[maxn]; long long prim[maxn]; inline long long read() { ,f=;char ch=getchar(); ;ch=getchar()…

这道题和 HDU-1695不同的是,a,c不一定是1了.还是莫比乌斯的套路,加上容斥求结果. 设\(F(n,m,k)\)为满足\(gcd(i,j)=k(1\leq i\leq n,1\leq j\leq m)\)的对数.则\(ans = F(b,d,k)-F(a-1,d,k)-F(c-1,b,k)+F(a-1,c-1,k)\) 预处理莫比乌斯函数的前缀和,分块加速求和即可 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long lon…