核函数 在上文中我们已经了解到使用SVM处理线性可分的数据,而对于非线性数据需要引入核函数的概念它通过将数据映射到高维空间来实现线性可分.在线性不可分的情况下,支持向量机通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入变量映射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面.我们使用SVM进行数据集分类工作的过程首先是同预先选定的一些非线性映射将输入空间映射到高维特征空间(下图很清晰的表达了通过映射到高维特征空间,而把平面上本身不好分的非线性数据分了开来) 只要给出φ,计算出φ(x)和φ(z),再…

参考文献:https://blog.csdn.net/Dominic_S/article/details/83002153 1.硬间隔最大化 对于以上的KKT条件可以看出,对于任意的训练样本总有ai=0或者yif(xi) - 1=0即yif(xi) = 11)当ai=0时,代入最终的模型可得:f(x)=b,样本对模型没有贡献2)当ai>0时,则必有yif(xi) = 1,注意这个表达式,代表的是所对应的样本刚好位于最大间隔边界上,是一个支持向量,这就引出一个SVM的重要性质:训练完成后,大部分的…

支持向量机的目的是寻找一个能讲两类样本正确分类的超平面,很多时候这些样本并不是线性分布的. 由此,可以将原始特征空间映射到更高维的特征空间,使其线性可分.而且,如果原始空间是有限维,即属性数量有限, 那么一定存在一个高维特征空间使样本可分. k(.,.)就是核函数.整理后 定理证明:只要一个对称函数所对应的核矩阵半正定,它就能作为核函数使用. 此外,还可以组合函数得到新的核函数,比如假设K1和K2都是核函数,线性组合:r1K1+r2K2也是核函数,还有: 软间隔: 在分类问题中,我们很难完全将数…

软间隔最大化(线性不可分类svm) 上一篇求解出来的间隔被称为 "硬间隔(hard margin)",其可以将所有样本点划分正确且都在间隔边界之外,即所有样本点都满足 \(y_{i}(\boldsymbol{w}^{\top} \boldsymbol{x}_{i}+b) \geqslant 1\) . 但硬间隔有两个缺点:1. 不适用于线性不可分数据集. 2. 对离群点(outlier)敏感. 比如下图就无法找到一个超平面将蓝点和紫点完全分开: 下图显示加入了一个离群点后,超平面发生了…

SVM目前被认为是最好的现成的分类器,SVM整个原理的推导过程也很是复杂啊,其中涉及到很多概念,如:凸集和凸函数,凸优化问题,软间隔,核函数,拉格朗日乘子法,对偶问题,slater条件.KKT条件还有复杂的SMO算法! 相信有很多研究过SVM的小伙伴们为了弄懂它们也是查阅了各种资料,着实费了不少功夫!本文便针对SVM涉及到的这些复杂概念进行总结,希望为大家更好地理解SVM奠定基础(图片来自网络). 一.凸集和凸函数 在讲解凸优化问题之前我们先来了解一下凸集和凸函数的概念 凸集:在点集拓扑学与欧几…

线性可分支持向量机 给定线性可分的训练数据集,通过间隔最大化或等价地求解相应的凸二次规划问题学习到的分离超平面为 \[w^{\ast }x+b^{\ast }=0\] 以及相应的决策函数 \[f\left( x\right) =sign\left(w^{\ast }x+b^{\ast } \right)\] 称为线性可分支持向量机 如上图所示,o和x分别代表正例和反例,此时的训练集是线性可分的,这时有许多直线能将两类数据正确划分,线性可分的SVM对应着能将两类数据正确划分且间隔最大的直线. 函数…

1. 感知机原理(Perceptron) 2. 感知机(Perceptron)基本形式和对偶形式实现 3. 支持向量机(SVM)拉格朗日对偶性(KKT) 4. 支持向量机(SVM)原理 5. 支持向量机(SVM)软间隔 6. 支持向量机(SVM)核函数 1. 前言 在前一篇支持向量机(SVM)原理中,我们对线性可分SVM的模型和损失函数优化做了总结.但是大家有没发现,之前的文章介绍的支持向量机会无法处理一些情况,比如在有0,1两类,在0类的中间出现了几个1类的异常点,这样的话要之前最原始的SVM…

线性可分支持向量机与软间隔最大化--SVM 给定线性可分的数据集 假设输入空间(特征向量)为,输出空间为. 输入 表示实例的特征向量,对应于输入空间的点: 输出 表示示例的类别. 我们说可以通过间隔最大化或者等价的求出相应的凸二次规划问题得到的分离超平面 以及决策函数: 但是,上述的解决方法对于下面的数据却不是很友好, 例如,下图中黄色的点不满足间隔大于等于1的条件 这样的数据集不是线性可分的, 但是去除少量的异常点之后,剩下的点都是线性可分的, 因此, 我们称这样的数据集是近似线性可分的. 对…

今天是机器学习专题的第34篇文章,我们继续来聊聊SVM模型. 我们在上一篇文章当中推导了SVM模型在硬间隔的原理以及公式,最后我们消去了所有的变量,只剩下了\(\alpha\).在硬间隔模型当中,样本是线性可分的,也就是说-1和1的类别可以找到一个平面将它完美分开.但是在实际当中,这样的情况几乎是不存在的.道理也很简单,完美是不存在的,总有些样本会出错. 那针对这样的问题我们应该怎么解决呢? 软间隔 在上文当中我们说了,在实际的场景当中,数据不可能是百分百线性可分的,即使真的能硬生生地找到这样的…

引入:1. 数据线性不可分:2. 映射到高维依然不是线性可分3. 出现噪声.如图: 对原始问题变形得到#2: 进行拉格朗日转换: 其中α和r是拉格朗日因子,均有不小于0的约束.按照之前的对偶问题的推导方式,先针对w,b最小化,然后再针对α最大化,得到新的对偶问题: 求解得到α之后,w仍然按公式给出,但是截距b的计算方式要改变. KKT中的互补条件也变为了:[有待深入理解其含义] KKT的理解:[首先得注意:(1)αi与样本(x(i),y(i))是一一对应的:(2)αi>=0] 由对w的偏导得到:…