P4139 上帝与集合的正确用法 题目描述 根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做"元". 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作"α"."α"被定义为"元"构成的集合.容易发现,一共有两种不同的"α". 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作"β"."β"被定义为"α"构成的集合.容…

题目传送门 上帝与集合的正确用法 题目描述 根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去…

上帝与集合的正确用法 \(T\) 组数据,每次给定 \(p\),求 \[\left(2^{\left(2^{\left(2^{\cdots}\right)}\right)}\right)\bmod p \] 数据范围:\(1\le T\le 1000\),\(1\le p\le 10^7\). 这篇题解主要是给自己看的,因为小蒟蒻从未见过这种骚操作. 首先这个式子虽是无限的,但是答案是固定的. 先来几个引理 \[a^{\varphi(p)}\equiv1\pmod p \] \[a^b\equi…

题目描述 根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有655…

正解:拓展欧拉定理 解题报告: 首先放上拓欧公式? if ( b ≥ φ(p) )  ab ≡ ab%φ(p)+φ(p)(mod p)else ab≡ab mod φ(p) (mod p) 首先利用扩展欧拉定理. 原式=2(剩余数%φ(p)+φ(p)) 而 剩余数% φ(p)又可以进行分解,所以这个过程可以用递归实现. 注意边界条件:当p=1时,余数自然为0. 然后就最最最不用动脑子的思路啊,我们一路做下去做下去,一直膜膜膜膜膜%,总有一天φ(p)是1了然后此时mod一定是0就可以一路再返回回去…

题目大意:多次询问,每次给你$p$询问$2^{2^{2^{\dots}}}\bmod p$ 题解:扩展欧拉定理,求出$\varphi(p)$即可.因为$2^{2^{2^{\dots}}}>>p$,所以其实每一次算的时候都可以直接加上$\varphi(p)$,不用判断 卡点:无 C++ Code: #include <cstdio> namespace Math { const int N = 1e7 + 1; int pri[N], ptot, phi[N]; bool notp[…

题目描述 根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的:  第一天,上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”.  第二天,上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”.  第三天,上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”.  第四天,上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”.  如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有65…

本题是欧拉定理的应用.我这种蒟蒻当然不知道怎么证明啦! 那么我们就不证明了,来直接看结论: ab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%φ(p)abab%φ(p)+φ(p)gcd(a,p)=1gcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)(modp) 或者 ab≡⎧⎩⎨⎪⎪ab%ϕ(p)           gcd(a,p)=1ab                  gcd(a,p)≠1,b<ϕ(p)ab%ϕ(p)+ϕ(p)    gcd(a,p)≠1,b≥ϕ(p)       (mod pa…

题目传送门 题目中的式子很符合扩展欧拉定理的样子.(如果你还不知扩展欧拉定理,戳).对于那一堆糟心的2,我们只需要递归即可,递归边界是模数为1. 另外,本题中好像必须要用快速乘的样子...否则无法通过.... $Code$ #include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; ; int T,p; int phi[lim]; void init_phi() { phi[]=; ;i<=lim;i++) phi[i]…

本蒟蒻现在才知带扩展欧拉定理. 对于任意的\(b\geq\varphi(p)\)有 \(a^b\equiv a^{b\ mod\ \varphi(p)+\varphi(p)}(mod\ p)\) 当\(b<\varphi(p)\)有 \(a^b\equiv a^{b\ mod\ \varphi(p)}(mod\ p)\) \(b\)和\(p\)可以不互质 然后这题就简单了... #include<iostream> #include<cstring> #include<…

题目描述 求 \[ 2^{2^{2\cdots}} ~mod ~p \] 简单题,指数循环节. 由于当\(b>=\psi(p)\)时,有 \[ a^b=a^{b ~mod~\psi(p)+\psi(p)} \pmod p \] 显然这道题满足这个条件. 那当然是算\(\psi(p)\)然后\(2^{2^{2\cdots}}\)就可以变成 \[ 2^{2^{2^{2\cdots}}}=2^{(2^{2^{2\cdots}} ~mod~\psi(p)+\psi(p))} \pmod p \] 啦.…

题目链接:Click here Solution: 这道题就考你会不会扩展欧拉定理,根据扩展欧拉定理可知 \[ a^b \equiv a^{(b\,mod\,\varphi(p))+\varphi(p)} \,(mod\,p),b>\varphi(p) \] 本题利用扩展欧拉定理,显然可得一个递归式,边界条件是\(\varphi(p)=1\) 线筛预处理\(\varphi(n)\)即可 Code: #include<bits/stdc++.h> #define int long long…

P4139 上帝与集合的正确用法 \(2^{2^{2^{\dots}}}\bmod p\) 卡最优解倒数第一祭. 带一下扩展欧拉定理就好了. code: #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> using namespace std; const int wx=10000017; int isprime[wx],prime[wx],phi[wx]; i…

[BZOJ3884]上帝与集合的正确用法(欧拉定理,数论) 题面 BZOJ 题解 我们有欧拉定理: 当\(b \perp p\)时 \[a^b≡a^{b\%\varphi(p)}\pmod p \] 否则 当\(b≥\varphi(p)\)时 \[a^b≡a^{b\%\varphi(p)+\varphi(p)}\pmod p \] 这道题里面\(2\)的无穷次方显然会比\(\varphi(p)\)大 所以,递归调用这个公式 因此每次\(p\)都会变成\(\varphi(p)\) 所以,\(\va…

上帝与集合的正确用法 Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MB[Submit][Status][Discuss] Description Input 第一行一个T,接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值. Output T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值. Sample Input 3 2 3 6 Sample Output 0 1 4 HINT 对于100%的数据,T<=1000,p<=10^7 Solution 我们运用欧拉定理: 然…

3884: 上帝与集合的正确用法 Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MB[Submit][Status][Discuss] Description   根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易…

上帝与集合的正确用法 [问题描述] [输入格式] 第一行一个T,接下来T行,每行一个正整数p,代表你需要取模的值. [输出格式] T行,每行一个正整数,为答案对p取模后的值. [样例输入] 3236 [样例输出] 014 [数据范围] 对于100%的数据,T<=1000,p<=10^7 题解:   ①->②:把模数 p 拆成 2kq 的形式,其中 q 是奇数 ②->③: 将上式左右同除以2k 不会同余的蒟蒻只能这么推了 ③->④: 此时 q 是奇数,必定与 2n 互质 则套用…

题目大意 让你求\(2^{2^{2^{\cdots}}}(mod)P\)的值. 前置知识 知识1:无限次幂怎么解决 让我们先来看一道全国数学竞赛的一道水题: 让你求解:\(x^{x^{x^{\cdots}}}=2\)方程的解. 对于上面的无限次幂,我们可以把这个式子移上去,得到了\(x^{2}=2\). 因为指数的原因,所以我们可以直接得到了\(x=\sqrt{2}\). 以上的问题,启示我们对于这一些无限次幂可以转移来解决. 以上的东西可能用不到 知识2:欧拉定理和扩展欧拉定理 详细请出门左拐…

感觉是今天洛谷月赛T3的弱化版,会写洛谷T3之后这题一眼就会写了... 还是欧拉扩展定理 于是就在指数上递归%phi(p)+phi(p)直到1,则后面的指数就都没用了,这时候返回,边回溯边快速幂.因为一个数最多求log次phi就变成1,所以复杂度为O(logp*sqrt(p)),这题线性筛是比直接求要慢的... #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<cstdio> #i…

传送门 •题意 求$2^{2^{2^{2^{2^{2^{...^{2}}}}}}}$ (无穷个2) 对p取模的值 •思路 设答案为f(p) $2^{2^{2^{2^{2^{2^{...^{2}}}}}}}\%p$ $=2^{(2^{2^{2^{2^{2^{...^{2}}}}}}\%\varphi(p)+ \varphi(p))}\%p$ $=2^{(2^{2^{2^{2^{2^{...^{2}}}}}}\%\varphi(p)+ \varphi(p))}\%p$ $=2^{(2^{(2^{2^…

Description 根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做"元". 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作"α"."α"被定义为"元"构成的集合.容易发现,一共有两种不同的"α". 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作"β"."β"被定义为"α"构成的集合.容易发现,一共有四种不…

Description 根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去,上帝创造的第四种元…

Description 根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去,上帝创造的第四种元…

Description 根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做"元". 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作"\(\alpha\)"."\(\alpha\)被定义为"元"构成的集合.容易发现,一共有两种不同的"\(\alpha\)". 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作"\(\beta\)"."\(\beta\)&qu…

Description   根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去,上帝创造的第四…

Description   根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去,上帝创造的第四…

Description   根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去,上帝创造的第四…

Description   根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去,上帝创造的第四…

Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 3860  Solved: 1751[Submit][Status][Discuss] Description   根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α…

题目描述 根据一些书上的记载,上帝的一次失败的创世经历是这样的: 第一天, 上帝创造了一个世界的基本元素,称做“元”. 第二天, 上帝创造了一个新的元素,称作“α”.“α”被定义为“元”构成的集合.容易发现,一共有两种不同的“α”. 第三天, 上帝又创造了一个新的元素,称作“β”.“β”被定义为“α”构成的集合.容易发现,一共有四种不同的“β”. 第四天, 上帝创造了新的元素“γ”,“γ”被定义为“β”的集合.显然,一共会有16种不同的“γ”. 如果按照这样下去,上帝创造的第四种元素将会有655…