写一写要讲什么免得忘记了.DP的优化. 大概围绕着"是什么","有什么用","怎么用"三个方面讲. 主要是<算法竞赛入门经典>里的题目讲解,但是有些过于简单的删去了,添加了一些不怎么简单的省选题目作为例子 这里的DP优化都是涉及到O(nk)到O(nk-1)方法比较巧妙也有用到数学里面的定理之类. 所以秉着由易到难的原则,安排内容如下: 专题1:动态规划基础知识和计数DP.数位DP(几大类DP的类型介绍) 专题2:DP的简单优化(稍微提…

一.预备知识 \(tD/eD\) 问题:状态 t 维,决策 e 维.时间复杂度\(O(n^{e+t})\). 四边形不等式: 称代价函数 w 满足凸四边形不等式,当:\(w(a,c)+w(b,d)\le w(b,c)+w(a,d),\ a < b < c < d\) 如下所示,区间1.2对应的 w 之和 ≤ 3.4之和 \[ \underbrace {\overbrace {a \to \underbrace{b \to c}_3}^1 \to d }_4 \llap{\overbrac…

[BZOJ1150]数据备份(动态规划,凸优化) 题面 BZOJ 洛谷 题解 在不考虑\(K\)的情况下很容易\(dp\) 如果把\(K\)考虑进状态显然是\(O(n^2)\)级别. 所以凸优化一下即可. 注意一下是一个下凸函数,所以是没操作一次就要减去一个权值. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #inc…

[BZOJ5311/CF321E]贞鱼/Ciel and Gondolas(动态规划,凸优化,决策单调性) 题面 BZOJ CF 洛谷 辣鸡BZOJ卡常数!!!!!! 辣鸡BZOJ卡常数!!!!!! 辣鸡BZOJ卡常数!!!!!! 所以我程序在BZOJ过不了 题解 朴素的按照\(k\)划分阶段的\(dp\)可以在\(CF\)上过的. 发现当选择的\(k\)增长时,减少的代价也越来越少, 所以可以凸优化一下,这样复杂度少个\(k\) 变成了\(O(nlogw)\) #include<iostrea…

[BZOJ5252]林克卡特树(动态规划,凸优化) 题面 BZOJ(交不了) 洛谷 题解 这个东西显然是随着断开的越来越多,收益增长速度渐渐放慢. 所以可以凸优化. 考虑一个和\(k\)相关的\(dp\) 这个题目可以转换为在树上选择\(K\)条不相交的路径. 设\(f[i][0/1/2]\)表示当前点\(i\),这个点不和父亲连/和父亲连/在这里将两条链合并的最优值. 再记一维\(k\),表示子树中已经选了\(k\)条链. 这样子可以直接转移. 那么凸优化\(dp\),再额外记录一下最优解的链…

[CF739E]Gosha is hunting(动态规划,凸优化) 题面 洛谷 CF 题解 一个\(O(n^3)\)的\(dp\)很容易写出来. 我们设\(f[i][a][b]\)表示前\(i\)个怪,两种球用了\(a,b\)个的最大期望, 直接用概率转移就好了.然而这样子会TLE飞. 发现可以凸优化,对于其中一个球给它二分一个权值,表示每使用一次就需要额外花费掉这么多的权值,同时不再限制使用的个数. 然后忽略这一个限制,做\(dp\),利用最优解使用的这种球的个数以及限制个数继续二分. 两维…

[BZOJ3437]小P的牧场(动态规划,斜率优化) 题面 BZOJ 题解 考虑暴力\(dp\),设\(f[i]\)表示强制在\(i\)处建立控制站的并控制\([1..i]\)的最小代价. 很显然,枚举上一个控制站的位置\(j\) \(f[i]=min(f[j]+Calc(i,j)+a[i])\),其中\(Calc(i,j)\)表示\(i,j\)之间被\(i\)控制的位置产生的贡献. 这个可以用前缀和优化做到\(O(1)\)计算\(Calc\) 预处理\(s1[i]=\sum b[i],s2[i…

[BZOJ4654][NOI2016]国王饮水记(动态规划,斜率优化) 题面 BZOJ 洛谷 题解 首先肯定是找性质. 明确一点,比\(h_1\)小的没有任何意义. 所以我们按照\(h\)排序,那么\(h_1\)就是当前\(1\)号位置的水量. 假设我们使用的次数不受到任何限制,我们思考怎么样才是最优. 首先每次只和一个合并一定比和多个合并更优. 假设有三个位置\(h_1\lt h_2\lt h_3\) 那么如果直接合并,答案是\((h_1+h_2+h_3)/3\) 如果每次合并一个,答案是\(…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1096 首先得到dp方程(我竟然自己都每推出了QAQ)$$d[i]=min\{d[j]+cost(j+1,i)\}+c[i]$$其中$d[i]$是前i个且在i建仓库的最小费用,$cost(j+1,i)$是将j+1-i的东西全都运到i的费用 而我们先考虑cost怎么求,orz,好神的前缀和,首先维护sum[i]表示1-i的物品,则j-i的东西从j全都运到i需要$$(sum[i]-sum[j]) \ti…

[Wannafly挑战赛29F]最后之作(Trie树,动态规划,斜率优化) 题面 牛客 题解 首先考虑怎么计算\([l,r]\)这个子串的不同的串的个数. 如果\(l=1\),我们构建\(Trie\)树然后第\(i\)层的点的个数就是\([1,i]\)的答案. 如果\(l\)要向右移动一位,显然就是我们要把最上面那一层给删掉. 那么我们暴力对\(Trie\)树进行合并,因为每个点最多只会被合并一次,所以复杂度是\(O(|\sum|*tot)\)的,其中\(tot\)是\(Trie\)树点数,\(…