题目链接: 洛谷 题目大意:求同余方程组 $x\equiv b_i(mod\ a_i)$ 的最小正整数解. $1\leq n\leq 10^5,1\leq a_i\leq 10^{12},0\leq b_i\leq 10^{12},b_i<a_i$,保证有解,答案不超过 $10^{18}$. (其实我没打成方程组形式是因为我 $latex$ 太差) 既然是模板就直接讲方法.假设不一定有解. 方法:每次将前 $i-1$ 个方程合并后的方程与第 $i$ 个方程合并,直到 $n$ 个方程全部合并完.…

一个不错的2-SAT文章:传送门 问题初入 什么是2-SAT SAT是适定性(Satisfiability)问题的简称 .一般形式为k-适定性问题,简称 k-SAT. 首先,把「2」和「SAT」拆开.SAT 是 Satisfiability 的缩写,意为可满足性.即一串布尔变量,每个变量只能为真或假.要求对这些变量进行赋值,满足布尔方程. 如何实现2-SAT 一道例题:洛谷P4782 2-SAT例题 首先将每个or的问题转换成假->真问题 然后跑缩点 因为缩点中跑出来的强连通分量的拓扑序已经在过…

倍增求\(LCA\) 倍增基础 从字面意思理解,倍增就是"成倍增长". 一般地,此处的增长并非线性地翻倍,而是在预处理时处理长度为\(2^n(n\in \mathbb{N}^+)\)的区间值.在这些预处理结果的基础上,我们可以进一步求出任意长度区间的答案. 比如区间最值问题\((RMQ)\)就可以使用倍增解决.对于每个起始点,预处理长度为\(2^n\)的区间最值.之后每段区间都可以以此求出,如: \(f(1,7)=\max(f(1,4),f(3,7))\) 以上是最简单的一个举例.在计…

qwq 安利一个凸优化讲的比较好的博客 https://www.cnblogs.com/Gloid/p/9433783.html 但是他的暴力部分略微有点问题 qwq 我还是详细的讲一下这个题+这个知识点吧. 还是先从题目入手. 首先我们分析题目. 因为题目要删除\(k\)条边,然后再新建\(k\)条边,求两点的路径和. 那我们不妨这么考虑,对于新连接一条边,相当于链接了原树上的两条链,且链不存在交点. 那我们新建\(k\)条边,就相当于把原树上没有交的\(k+1\)条链连接起来. 既然要求权值…

扩展中国剩余定理(EXCRT)学习笔记 用途 求解同余方程组 \(\begin{cases}x\equiv c_{1}\left( mod\ m_{1}\right) \\ x\equiv c_{2}\left( mod\ m_{2}\right) \\ \ldots \\ x\equiv c_r\left( mod\ m_r\right) \end{cases}\) 其中 \(m_1,m_2,m_3...m_k\) 为不一定两两互质的整数, 求 \(x\) 的最小非负整数解. 求法 考虑两两合…

前言 我们熟知的中国剩余定理,在使用条件上其实是很苛刻的,要求模线性方程组\(x\equiv c(\mod m)\)的模数两两互质. 于是就有了扩展中国剩余定理,其实现方法大概是通过扩展欧几里德把两个同余方程合并,具体会在下面提到. 但是,使用仍有限制,那就是\(x\)的系数必须为\(1\). 没关系,把它再扩展一下 题目及实现 洛谷题目传送门 题意分析 显然,如果我们能干掉所有龙,那么每一次使用的剑的攻击力是已知的,设为\(k\).那么对于每一条龙,攻击次数\(x\)必须满足\(kx\equi…

题面 传送门:洛咕 Solution 真*扩展中国剩余定理模板题.我怎么老是在做模板题啊 但是这题与之前不同的是不得不写龟速乘了. 还有两个重点 我们在求LCM的时候,记得先/gcd再去乘另外那个数,直接乘会乘爆的 我们在做龟速乘之前,要保证要乘的两个数>=0,如果<0的话,龟速乘会爆掉的,我们传进去之间记得膜一下 int128:你说啥?这里风太大,我听不见. Code //Luogu P4777 [模板]扩展中国剩余定理(EXCRT) //Jan,15th,2019 //中国剩余定理 #in…

P4777 [模板]扩展中国剩余定理(EXCRT) excrt模板 我们知道,crt无法处理模数不两两互质的情况 然鹅excrt可以 设当前解到第 i 个方程 设$M=\prod_{j=1}^{i-1}b[j]$ ,$ res$是前$ i-1 $个方程的最小解 则$ res+x*M$ 是前 $i-1 $个方程的通解 那么我们求的就是 $res+x*M ≡ a[i] (mod b[i])$ $<=> x*M - y*b[i] = a[i]-res$ 用exgcd求出的解为 t (当且仅当 gcd…

EXCRT 不保证模数互质 \[\begin{cases} x \equiv b_1\ ({\rm mod}\ a_1) \\ x\equiv b_2\ ({\rm mod}\ a_2) \\ ... \\ x \equiv b_n\ ({\rm mod}\ a_n)\end{cases}\] CRT戳这里 来一手数学归纳法 设已经求出前 \(k - 1\) 组的一个解 \(q\) 设 \(M = \prod_{i = 1}^{k - 1}a_{i}\) 我们知道前 \(k - 1\) 组的通解…

思路 中国剩余定理解决的是这样的问题 求x满足 \[ \begin{matrix}x \equiv a_1(mod\ m_1)\\x\equiv a_2(mod\ m_2)\\ \dots\\x\equiv a_n(mod\ m_n)\end{matrix} \] 在模数互质的情况下,解为 \[ x=\sum_ia_iM_iM_i^{-1}(mod M) \] 其中\(M=\prod_{i}m_i\),\(M_i=\frac{M}{m_i}\),\(M_i^{-1}\)为\(M_i\)在模\(m…

中国剩余定理(CRT) & 扩展中国剩余定理(ExCRT)总结 标签:数学方法--数论 阅读体验:https://zybuluo.com/Junlier/note/1300035 前置浅讲 前置知识点:\(Exgcd\) 这两个东西都是用来解同余方程组的 形如 \[ \left\{ \begin{aligned} x\equiv B_1(mod\ W_1)\\ x\equiv B_2(mod\ W_2)\\ \cdots\\ x\equiv B_n(mod\ W_n)\\ \end{aligne…

数论守门员二号 =.= 中国剩余定理: 1.一次同余方程组: 一次同余方程组是指形如x≡ai(mod mi) (i=1,2,…,k)的同余方程构成的组 中国剩余定理的主要用途是解一次同余方程组,其中m1,m2,...,mk互质 2.中国剩余定理: 令M=m1*m2*...*mk(即所有m的lcm)ti为同余方程M/mi*ti≡1(mod mi)的最小正整数解 则存在解x=∑ai*M/mi*ti 通解为x+i*M 最小非负整数解为(x%M+M)%M (我承认这段是抄的orz 原文看起来更方便:ht…

扩展中国剩余定理 (ExCRT) 学习笔记 预姿势: 扩展中国剩余定理和中国剩余定理半毛钱关系都没有 问题: 求解线性同余方程组: \[ f(n)=\begin{cases} x\equiv a_1\pmod {m_1}\\ x\equiv a_2\pmod {m_2}\\ ... ...\\ x\equiv a_n\pmod {m_n}\\ \end{cases}\] 的解\(x\). \(m\)两两之间不一定互质! 解法: ExCRT的基本思想是将方程两两合并,合并规则如下: 定义 \[in…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/exCRT.html 扩展中国剩余定理 (exCRT) 的证明与练习 问题模型 给定同余方程组 $$\begin{cases}x&\equiv&x_1&\pmod {p_1}\\x&\equiv&x_2&\pmod {p_2}\\ &&\vdots\\x&\equiv&x_n&\pmod {p_n}\end{cases}$$ 求解 $…

链接: https://www.acwing.com/problem/content/206/ 题意: 给定2n个整数a1,a2,-,an和m1,m2,-,mn,求一个最小的非负整数x,满足∀i∈[1,n],x≡mi(mod ai). 思路: 扩展中国剩余定理模板题. 代码: #include <bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; LL R[50], M[50]; int n; LL ExGcd(LL a, LL…

KMP字符串匹配 模板 洛谷 P3375 题意 如题,给出两个字符串s1和s2,其中s2为s1的子串,求出s2在s1中所有出现的位置. 为了减少骗分的情况,接下来还要输出子串的前缀数组next.(如果你不知道这是什么意思也不要问,去百度搜[kmp算法]学习一下就知道了.) 样例: 输入 ABABABC ABA 输出 1 3 0 0 1 解题思路 当然是使用KMP啦,只不过这个要求比较高一些. 注意这里要输出的next数组内容是不能进行优化的那种,否者就会WA,带有优化的可以看第一个代码. 详情见…

JavaEE精英进阶课学习笔记<博学谷> 第1章 亿可控系统分析与设计 学习目标 了解物联网应用领域及发展现状 能够说出亿可控的核心功能 能够画出亿可控的系统架构图 能够完成亿可控环境的准备并了解亿可控的功能结构 完成设备管理相关功能的开发 1.物联网行业分析 1.1 什么是物联网 物联网(英文:Internet of Things,缩写:IoT)起源于传媒领域,是信息科技产业的第三次革命.物联网是指通过信息传感设备,按约定的协议,将任何物体与网络相连接,物体通过信息传播媒介进行信息交换和通信…

[数论]卢卡斯定理模板 洛谷P3807 >>>>题目 [题目] https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807 [输入格式] 第一行一个整数T(T\le 10T≤10),表示数据组数 第二行开始共T行,每行三个数n m p,意义如上 [输出格式] 共T行,每行一个整数表示答案. [输入样例] 21 2 52 1 5 [输出样例] 33 >>>>分析 emmmm模板题还是不用分析了吧 卢卡斯定理解决的就是组合数C(n,m…

题意:求解一般模线性同余方程组 解题关键:扩展中国剩余定理求解.两两求解. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {r_1}\,\bmod \,{m_1}}\\{x = {r_2}\,\bmod \,{m_2}}\end{array}} \right.$ 为了代码的符号清晰,将转化后的系数都为正,故如下设方程. $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {r_1} - {k_1}{m_1}}\\{x = {r_2} + {k…

1.欧几里得算法(辗转相除法) 直接上gcd和lcm代码. int gcd(int x,int y){ ?x:gcd(y,x%y); } int lcm(int x,int y){ return x*y/gcd(x,y); } 2.扩欧:exgcd:对于a,b,一定存在整数对(x,y)使ax+by=gcd(a,b)=d ,且a,b互质时,d=1. x,y可递归地求得. 我懒得改返回值类型了 long long exgcd(long long a,long long b,long long &x,…

扩展中国剩余定理板子 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=100005; int n; long long m[N],r[N],M,R,x,y,d; void exgcd(long long a,long long b,long long &d,long long &x,long long &y) { if(!b) { d=a,x=1,y=0; return…

扩展中国剩余定理的板子,合并完之后算一下范围内能取几个值即可(记得去掉0) #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; const int N=15; int T,n,m; long long a[N],b[N],A,B,x,y,d; bool fl; void exgcd(long long a,long long b,long long &d,long lo…

题目链接:http://poj.org/problem?id=2891 题目大意: 求解同余方程组,不保证模数互质 题解: 扩展中国剩余定理板子题 #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #include<iostream> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; +; int k; ll m[N],…

Chrome扩展,应用开发学习笔记之2 恶搞百度一下 前面我们介绍了一个最简单的chrome扩展时钟,如今我来介绍一下一个恶搞百度一下的chrome扩展程序. 前面说过,manifest.json文件是用来描写叙述这个扩展的,是整个扩展的入口,同一时候也是告诉chrome怎么处理这个扩展. 恶搞百度一下: 以下我们来编写一个恶搞百度一下的扩展程序,希望从这个实例中,对于chrome拓展有一个更好的认识.先看看这个拓展的效果,例如以下图: 从图中我们能够猜到,其功能就是让你无法点击百度一下那个bu…

Han Xin and His Troops(扩展中国剩余定理 Python版) 题目来源:2019牛客暑期多校训练营(第十场) D - Han Xin and His Troops 题意:   看标题就知道大概了,韩信点兵的典故我们应该都熟悉吧.   给出 \(n\) 个同余方程,问是否存在不超过 \(m\) 的正整数解.   坑点:   数据比较大,直接用 CRT 会爆 ll,这时候就用 Python 来实现.   AC代码: n = 110 # 同余方程个数 a = [0]*110 # 余…

0.引子 每一个讲中国剩余定理的人,都会从孙子的一道例题讲起 有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何? 1.中国剩余定理 引子里的例题实际上是求一个最小的x满足 关键是,其中r1,r2,--,rk互质 这种问题都有多解,每一个解都为最小的解加上若干个lcm(r1,r2,...,rk),这个不用我证了吧(-_-||) 解决这个问题的方法是构造法, 先构造k个数 满足, 这样就保证 ,但是由于 bi 乘了除 ri 以外所有 r,所以bi模其它的 r 都为 0, 再把所有 b…

注意一下:: 题目是 \[x≡b_i\pmod {a_i}\] 我总是习惯性的把a和b交换位置,调了好久没调出来,\(qwq\). 本题解是按照 \[x≡a_i\pmod {b_i}\] 讲述的,请注意 本题\(m_i\)不一定两两互质,所以中国剩余定理在本题不再适用. 说是扩展中国剩余定理,其实好像和中国剩余定理关系不大. 使用数学归纳法,如果我们已经知道了前\(k-1\)个方程组构成的一个解,记作\(x\),记\(m=\Pi_{i=1}^{k-1}m_i\),则\(x+i*m(i∈Z)\)是…

前言 由于 \(\{\mathrm{CRT}\}\subseteq\{\mathrm{exCRT}\}\),而且 CRT 又太抽象了,所以直接学 exCRT 了. 摘自 huyufeifei 博客 这么抽象的东西我怎么可能会写 前置技能 gcd/lcm exgcd 快速乘 参考资料 一篇未通过的洛谷日报 by AH_ljq 比较直观的 exCRT 学习笔记 by Milky Way 我之前写过的 exgcd 学习笔记 huyufeifei 对 CRT 的劝退 用途 用于求一个关于 \(x​\)…

题目链接: 洛谷 BZOJ LOJ 题目大意:这么长的题面,就饶了我吧emmm 这题第一眼看上去没法列出同余方程组.为什么?好像不知道用哪把剑杀哪条龙…… 仔细一看,要按顺序杀龙,所以获得的剑出现的顺序也是固定的. 那么如果能把所有龙杀死,就能模拟出哪把剑杀那条龙了. (以下设所有除 $n,m$ 外的数的最大值为 $v$) $O(nm)$? 不,发现这里用剑的限制实际上是给出一个上界,来用lower_bound的. 插入也不要太暴力.我们想到什么?手写平衡树multiset! 这一部分复杂度是…

刚学的好玩算法,AC2题,非常开心. 其实很早就有教过,以前以为很难就没有学,现在发现其实很简单也很有用. 更重要的是我很好调试,两题都是几乎一遍过的. 介绍树链剖分前,先确保已经学会以下基本技巧: DFS序列,线段树/树状数组,LCA(最近公共祖先) DFS序列确保你能听懂以下环节,线段树/树状数组是维护序列的有力工具,而LCA涉及树上的很多基本问题. 经常会遇到这样的题目: 对于一棵树,给x到y的路径上的点/边都做一个操作,并且查询x到y的路径上的点/边的值. 如果不是x到y的路径,而是节点…