题目链接: [集训队作业2018]小Z的礼物 题目要求的就是最后一个喜欢的物品的期望得到时间. 根据$min-max$容斥可以知道$E(max(S))=\sum\limits_{T\subseteq S}^{ }(-1)^{|T|-1}E(min(T))$ 那么只需要知道每个子集中最早得到的物品的期望时间即可得出答案. 对于每个子集,最早得到的物品的期望时间就是一次选择能得到这个子集中元素的概率的倒数. 用一次选择能得到这个子集中的元素的方案数除上总方案数(每次共有$2*n*m-n-m$种选择方…

LINK:小Z的礼物 太精髓了 我重学了一遍min-max容斥 重写了一遍按位或才写这道题的. 还是期望多少时间可以全部集齐. 相当于求出 \(E(max(S))\)表示最后一个出现的期望时间. 根据min-max容斥 显然有 \(E(max(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(min(T))\) 对于这道题 要求出所有的T 直接\(2^{cnt}\)枚举不太现实. 但是我们仍要对每个集合求出其概率. 考虑从矩阵上进行dp来进行压缩状态 那么因为一个格子的选…

[UOJ#422][集训队作业2018]小Z的礼物(min-max容斥,轮廓线dp) 题面 UOJ 题解 毒瘤xzy,怎么能搬这种题当做WC模拟题QwQ 一开始开错题了,根本就不会做. 后来发现是每次任意覆盖相邻的两个,那么很明显就可以套\(min-max\)容斥. 要求的就是\(max(All)\),而每个集合的\(min\)是很好求的. 如果直接暴力枚举集合复杂度就是\(2^{cnt}cnt\). 仔细想想每个子集我们要知道的是什么,只需要知道子集大小来确定前面的容斥系数,还需要知道覆盖子集…

T1: [集训队作业2018]小Z的礼物 我们发现我们要求的是覆盖所有集合里的元素的期望时间. 设\(t_{i,j}\)表示第一次覆盖第i行第j列的格子的时间,我们要求的是\(max\{ALL\}\) 考虑\(min-max容斥\).\(max\{S\}=\sum_{S \subset T}(-1) ^{|T|-1}min\{T\}\) 此时我们要求的变为了\(min\{T\}\),即\(T\)中至少有一个元素被选择的期望. 我们知道当\(T\)中元素被选择的概率为\(P\)时,其期望为\(\f…

#422. [集训队作业2018]小Z的礼物 min-max容斥 转化为每个集合最早被染色的期望时间 如果有x个选择可以染色,那么期望时间就是((n-1)*m+(m-1)*n))/x 但是x会变,中途统计答案会很麻烦 所以把x记录到状态里! 轮廓线DP f[i][j][s][x]到了(i,j),轮廓线选择情况是s,x个选择可以染色的所有方案的(-1)^(|T|+1)的和 枚举(i,j)选不选,x的增长直接用s和(i,j)位置计算即可. 相当于每个T在x的位置上被考虑了恰好一次. #include…

UOJ #449. [集训队作业2018]喂鸽子 小Z是养鸽子的人.一天,小Z给鸽子们喂玉米吃.一共有n只鸽子,小Z每秒会等概率选择一只鸽子并给他一粒玉米.一只鸽子饱了当且仅当它吃了的玉米粒数量\(≥k\). 小Z想要你告诉他,期望多少秒之后所有的鸽子都饱了. 假设答案的最简分数形式为\(\frac{a}{b}\),你需要求出\(w\),满足\(a≡b⋅w \pmod{998244353}(0≤w<998244353).\) \(n\leq 50,k\leq 1000\) Orz 首先可以用\(…

题目链接: [集训队作业2018]蜀道难 题目大意:给出一棵$n$个节点的树,要求给每个点赋一个$1\sim n$之内的权值使所有点的权值是$1\sim n$的一个排列,定义一条边的权值为两端点权值差的绝对值,要求对于任意两点间的路径要么路径上所有点的点权单调,要么存在路径上的第三个点到这两个点的路径分别单调(即两点间路径先单调递增再单调递减或先单调递减再单调递增).求出整棵树最小边权和,并支持动态插入点之后完成上述问题. 前言: 这道题综合性比较强且代码量及细节非常多,是迄今为止我做过最神仙的…

[UOJ#450][集训队作业2018]复读机(生成函数,单位根反演) 题面 UOJ 题解 似乎是\(\mbox{Anson}\)爷的题. \(d=1\)的时候,随便怎么都行,答案就是\(k^n\). \(d=2\)的时候,可以做一个\(dp\),设\(f[i][j]\)表示前\(i\)个复读机选了\(j\)个时间的方案数. 然后枚举当前这个复读机复读的次数,得到: \[f[x][j]=\sum_{i=0}^{j}[2|i]{n-j+i\choose i}f[x-1][j-i]\] 化简啥的之后…

[莫队算法][国家集训队2010]小Z的袜子 Description 作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿.终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命…… 具体来说,小Z把这N只袜子从1到N编号,然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬. 你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子.当然,小Z希望这个概率尽…

#418. [集训队作业2018]三角形 和三角形没有关系 只要知道儿子放置的顺序,就可以直接模拟了 记录历史最大值 用一个pair(a,b):之后加上a个,期间最大值为增加b个 合并? A1+A2=(a1+a2,max(b1,a1+b2)) 放置顺序考虑贪心 比较: A放在B前面(和父亲进行合并)当且仅当(C=A+B).b<(D=B+A).b 分A.a和B.a的正负进行讨论 初始的pair:(w[x]-∑w[son[x]],w[x])把儿子会都扔掉 初始的pair放进堆里,取n-1次,和父亲合…

#428. [集训队作业2018]普通的计数题 模型转化好题 所以变成统计有标号合法的树的个数. 合法限制: 1.根标号比子树都大 2.如果儿子全是叶子,数量B中有 3.如果存在一个儿子不是叶子,数量A中有 然后考虑DP 直接枚举根的儿子的情况 cdq分治NTT还是很恶心的 不光是自己卷自己,还是互相卷 进行一番化简和平移之后,可以转化为cdq分治NTT的形式: 怎么好做怎么来. 反正我最后推的式子有如下特点(式子就不写了): 为了方便,钦定g[0],f[0],g[1],f[1]都是0 对于f,…

uoj450 [集训队作业2018]复读机(生成函数,单位根反演) uoj 题解时间 首先直接搞出单个复读机的生成函数 $ \sum\limits_{ i = 0 }^{ k } [ d | i ] \frac{ x^{ i } }{ i! } $ . 容易想到直接上单位根反演: \[\begin{aligned} \sum\limits_{ i = 0 }^{ k } [ d | i ] \frac{ x^{ i } }{ i! } & = \sum\limits_{ i = 0 }^{ k…

题面 Description 作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿.终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命-- 具体来说,小Z把这N只袜子从1到N编号,然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬. 你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子.当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方…

题面 传送门 题解 好迷-- 很明显它让我们求的是\(Max(S)\),我们用\(Min-Max\)容斥,因为\(Min(S)\)是很好求的,只要用方案数除以总方案数算出概率,再求出倒数就是期望了 然而如果爆搜枚举子集的话复杂度是\(O(2^{cnt})\)的 发现总共的方案数只有\(2*n*m-n-m\)种,而且\(n\)非常小,我们可以考虑插头\(dp\) 设\(f_{i,S,k}\)表示做到了第\(i\)列,插头的状态为\(S\),覆盖方案数为\(k\)时的方案总数,并且这个里面已经考虑了…

UOJ 思路 由于没有代码和AC记录的支撑,以下思路可能有错. 看到全部取完,大概可以想到min-max容斥. 由于期望的表达式里面合法方案的个数是在分母里面的,所以可以想到把它记录在状态里. 然而由于我菜,一开始只想到逐列DP,于是复杂度炸了-- 考虑插头DP:设\(f_{i,j,S,k}\)表示当前做到\((i,j)\),轮廓线上的状态是\(S\),已经有\(k\)个取到礼物的方案,带容斥系数的方案数. 转移想必乱搞就行了? 代码 咕咕咕…

小水题.题意就是不断随机放一个 \(1 \times 2\) 骨牌,然后取走里面的东西.求期望多少次取走所有的东西.然后有一维很小. 首先显然 minmax 容斥,将最后取走转化为钦定一些物品,求第一个取走的期望. 然后显然第一个取走的期望只和剩下能盖到物品的骨牌数有关. 一个骨牌能盖到物品只和相邻的两个格子是否钦定了物品有关.这个显然可以轮廓线优化. 然后套用 minmax 容斥公式直接算出来. 复杂度 \(O\left(n^2m^2 2^n\right)\) 数组清空写错了,导致 dp 状态…

题面传送门 本来说要找道轮廓线 \(dp\) 的题目刷刷来着的?然后就找到了这道题. 然鹅这个题给我最大的启发反而不在轮廓线 \(dp\),而在于让我新学会了一个玩意儿叫做 Min-Max 容斥. Min-Max 容斥大概讲的就是这样一件事情:对于任意集合 \(S\),\(\max(S)=\sum\limits_{T\subseteq S,T\ne\varnothing}(-1)^{|T|-1}\min(T)\),因为这个式子包含容斥系数 \((-1)^{|T|-1}\) 和集合的 \(\min…

题目大意 有一个 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\),每个元素都是 \([0,1]\) 内的等概率随机实数,记 \(s_i=\sum_{j=1}^mA_{i,j}\),求 \(\lfloor\min s_i\rfloor^k\) 的期望. 对 \(998244353\) 取模. \(n\leq {10}^9,m\leq 5\times {10}^5,k\leq {10}^9\) 题解 我们只用求 \(\lfloor s_i\rfloor\) 为 \(0\) 到 \(m-1\) 中每个…

题面 传送门 题解 肝了整整一天--膜拜yww和cx巨巨--(虽然它们的题解里我就没看懂几个字) 请备好草稿纸和笔,这种题目就是需要耐心推倒 题目所求是这么一个东西 \[ \begin{aligned} ans &=\sum_{i=1}^n\sum_{x_1=1}^i\sum_{x_2=1}^i...\sum_{x_k=1}^ilcm(\gcd(i,x_1),\gcd(i,x_2),...,\gcd(i,x_k))\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{x_1=1}^i\sum_{x…

题目大意 给你 \(n,m\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{x_1,x_2,\ldots,x_m=1}^i\operatorname{lcm}(\gcd(i,x_1),\gcd(i,x_2),\ldots,\gcd(i,x_m)) \] 对 \({10}^9+7\) 取模. \(nm\leq {10}^9\) 题解 先推一下式子: \[ ans=\sum_{i=1}^n\sum_{x_1,x_2,\ldots,x_m=1}^i\operatorname{lcm}(\gcd(i,…