在一个 $N$ 个元素集合中的所有子集中选择若干个,且交集大小为 $k$ 的方案数. 按照之前的套路,令 $f[k]$ 表示钦定交集大小为 $k$,其余随便选的方案数. 令 $g[k]$ 表示交集恰好为 $k$ 的方案数. 则有 $f[k]=\sum_{i=k}^{n}\binom{i}{k}g[k]$,反演得 $g[k]=\sum_{i=k}^{n}(-1)^{i-k}\binom{i}{k}f[i]$ 而 $f[k]=\binom{n}{k}2^{2^{n-k}}$,直接带入求值即可. co…

题目 一个有 \(N\) 个 元素的集合有 \(2^N\) 个不同子集(包含空集), 现在要在这 \(2^N\) 个集合中取出若干集合(至少一个), 使得它们的交集的元素个数为 \(K\) ,求取法的方案数,答案模 \(1000000007\) . \((1 \le N \le 10^6, 0 \le K \le N)\) 题解 又是一道 裸的 广义容斥定理 还没这道题难qwq 广义容斥定理 (二项式反演) : \[\displaystyle b_k = \sum_{i=k}^n \binom…

[BZOJ2839]集合计数(容斥,动态规划) 题面 BZOJ 权限题 Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) Input 一行两个整数N,K Output 一行为答案. Sample Input 3 2 Sample Output 6 题解 比较简单的容斥吧.. 设\(f[i]\)表示至少有\(i\)个相同元素的方案数…

BZOJ 2839: 集合计数 Description 一个有\(N\)个元素的集合有\(2^N\)个不同子集(包含空集),现在要在这\(2^N\)个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为\(K\),求取法的方案数,答案模\(1000000007\). Input 一行两个整数\(N,K\) Output 一行为答案. HINK 对于\(100\%\)的数据,\(1≤N≤1000000,0≤K≤N\): 设交集拥有元素集合\(S\)的取法方案数为\(f(S)\),有 \[…

LINK:集合计数 容斥简单题 却引出我对广义容斥的深思. 一直以来我都不理解广义容斥是为什么 在什么情况下使用. 给一张图: 这张图想要表达的意思就是这道题目的意思 而求的东西也和题目一致. 特点:求出某个集合恰好为k的个数. 转换:求出集合>=k的个数或者<=k的个数 从而使用广义容斥容斥出来答案. 关于>=k个数 如上图可见 又很多重复的地方 而广义容斥也是在这么多重复的地方使用的 而并非严格>=k的个数. 换个说法 >=k的方案数 可能有一些存在重复 但是其特点是&g…

2839: 集合计数 题意:n个元素的集合,选出若干子集使得交集大小为k,求方案数 先选出k个\(\binom{n}{k}\),剩下选出一些集合交集为空集 考虑容斥 \[ 交集为\emptyset = 任意选的方案数-交集\ge 1 的方案数+交集\ge 2的方案数-... \] 交集\(\ge i\)就是说先选出i个元素在交集里,剩下的元素的集合任选 那么就是 \[ \sum_{i=0}^n \binom{n}{i}(2^{2^{n-i}}-1) \] 组合数直接推阶乘和逆元 后面的\(2^{…

2839: 集合计数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 883  Solved: 490[Submit][Status][Discuss] Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) Input 一行两个整数N,K Output 一行为答案. Sample Inp…

2839: 集合计数 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 495  Solved: 271[Submit][Status][Discuss] Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得 它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) Input 一行两个整数N,K Output 一行为答案. Sample Inp…

题链: http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2839 题解: 容斥原理 真的是神题!!! 定义 f[k] 表示交集大小至少为 k时的方案数怎么求出这个数组呢?考虑先确定 k个元素(有C(N,k)种方法),那么还剩下 N-k个元素,这剩下的 N-k个元素可以得到 2^(N-k)个集合,然后每个集合可以选或不选,(但不能一个都不选),可以得到 2^(2^(N-k))-1 种选法,每种选法里面的每个集合都加上那以及固定的 k个元素,可以发现这…

[BZOJ2839]集合计数 Description 一个有N个元素的集合有2^N个不同子集(包含空集),现在要在这2^N个集合中取出若干集合(至少一个),使得它们的交集的元素个数为K,求取法的方案数,答案模1000000007.(是质数喔~) Input 一行两个整数N,K Output 一行为答案. Sample Input 3 2 Sample Output 6 HINT [样例说明]假设原集合为{A,B,C}则满足条件的方案为:{AB,ABC},{AC,ABC},{BC,ABC},{AB…