BZOJ5302: [Haoi2018]奇怪的背包 https://lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5302 分析: 方程\(\sum\limits_{i=1}^nx_ia_i=y\)有整数解的条件是\(gcd|y\). 对于这道题,我们可以直接把\(P\)当成一个可以提供负值 or 可以抵消负值的存在. 那么这道题的条件就是\(gcd(d,P)|q_i\),其中\(d\)是选出那些数的\(gcd\). 问题缩小到了\(P\)的约数这个范围,最多\(14…

[HAOI2018]奇怪的背包 \(solution:\) 首先,这一道题目的描述很像完全背包,但它所说的背包总重量是在模P意义下的,所以肯定会用到数论.我们先分析一下,每一个物品可以放无数次,可以达到的背包重量其实就是所有\(gcd(a[i],P)\)的倍数. 这一点和天天爱跑步简直神似!因为天天爱跑步中每一个人也可以走无数步,跑到环形(就是模意义下). 但是这道题目还可以加入多种物品,我们不难发现,如果加入i和j两种物品,它所能达到的重量其实只是在gcd中多加了一个,就是所有\(gcd(a[…

题目 小 CC 非常擅长背包问题,他有一个奇怪的背包,这个背包有一个参数 PP ,当他 向这个背包内放入若干个物品后,背包的重量是物品总体积对 PP 取模后的结果． 现在小 CC 有 nn 种体积不同的物品,第 ii 种占用体积为 V_iV i ​ ,每种物品都有无限个． 他会进行 qq 次询问,每次询问给出重量 w_iw i ​ ,你需要回答有多少种放入物品的方 案,能将一个初始为空的背包的重量变为 w_iw i ​ ．注意,两种方案被认为是不同的, 当且仅当放入物品的种类不同,而与每种物品放…

由裴蜀定理得,一个集合S能得到w当且仅当gcd(S+{P})|w. 于是f[i][j]表示前i个物品gcd为j的方案数,发现gcd一定是P的因数,故总复杂度$O(n\sqrt{P}\log P)$(需要二分或者map). 又发现,将所有数a[i]全都变成gcd(a[i],P)对答案是没有影响的,于是物品数也变成了P的因子个数级别. 故总复杂度为P的因子个数的平方*log P. #include<cstdio> #include<algorithm> #define rep(i,l,…

由裴蜀定理,子集S有解当且仅当gcd(S,P)|w. 一个显然的dp是设f[i][j]为前i个数gcd为j的选取方案.注意到这里的gcd一定是P的约数,所以状态数是n√P的.然后可以通过这个得到gcd是j约数的选取方案.复杂度O(n√PlogP). 考虑优化.注意到每个数取gcd后的贡献仅与其和P的gcd有关,而这又一定是P的约数,所以本质不同的物品数量也是O(√P).那么上面的dp就可以优化到O(PlogP)了.当然这里的P是P的约数个数的平方,这显然是远远达不到P的. #include<io…

[BZOJ5302][HAOI2018]奇怪的背包(动态规划,容斥原理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 为啥泥萌做法和我都不一样啊 一个重量为\(V_i\)的物品,可以放出所有\(gcd(V_i,P)\)的重量,而多个物品也只要\(gcd\)就好了. 现在的问题转变成了有多少个集合\(S\),满足\(S+\{P\}\)中所有数的\(gcd\)是\(w\)的因数.那么实际上就是直接令\(a[i]'=gcd(a[i],P)\),然后选出一个集合使得它是\(gcd(P,w)\)的因数. 考虑对于\(P\…

P4495 [HAOI2018]奇怪的背包 题目描述 小\(C\)非常擅长背包问题,他有一个奇怪的背包,这个背包有一个参数\(P\),当他 向这个背包内放入若干个物品后,背包的重量是物品总体积对\(P\)取模后的结果． 现在小\(C\)有\(n\)种体积不同的物品,第\(i\)种占用体积为\(V_i\),每种物品都有无限个． 他会进行\(q\)次询问,每次询问给出重量\(w_i\),你需要回答有多少种放入物品的方案,能将一个初始为空的背包的重量变为\(w_i\)．注意,两种方案被认为是不同的,…

题面 传送门 题解 好神仙的思路啊--orzyyb 因为不限次数,所以一个体积为\(V_i\)的物品可以表示出所有重量为\(\gcd(V_i,P)\)的倍数的物品,而所有物品的总和就是这些所有的\(\gcd\) 那么我们把每个\(V_i\)转化为\(\gcd(V_i,P)\),把\(w_i\)转化为\(\gcd(w_i,P)\),题目就可以变成问有多少种选择\(V_i\)的方法使\(V_i\)的\(\gcd\)为\(w_i\)的因子 据说当\(P\)很大的时候\(\sigma(P)\)大概只有\…

题目传送门:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5302 对于一个物品,设它体积为v,那么,在背包参数为p的情况下,它能达到gcd(v,p)的倍数的重量 对于两个物品,设它们的体积为v1和v2,那么,在背包参数为p的情况下,他能达到gcd(v1,v2,p)的倍数的重量 对于每个物品,我们记下它的gcd(v,p),问题变为给定一个x,求有多少个v的集合,是集合内所有元素的gcd能被x整除 我们设dp[i][j]表示p的前i个约数有多少种…

题目 暴力\(dp\)好有道理啊 于是我们来个反演吧 考虑一个体积序列\(\{v_1,v_2,...v_n\}\)能凑成\(w\)的条件 显然是 \[v_1x_1+v_2x_2+...+v_nx_n\equiv w(mod\ P)\] 根据贝祖定理,我们知道上面的同余方程有解的条件是 \[gcd(v_1,v_2...v_n,P)|w\] 现在题目转化成了求有多少个子集满足\(gcd(v_1,v_2..v_n,P)|w\)了 显然一个暴力\(dp\)记录一下当前\(gcd\)转移就好了,由于\(g…

Description Solution 首先 \(v_1,v_2,v_3...v_n,P\) 能够构成的最小数是 \(gcd(P,v_1,v_2,v_3...v_n)\) 然后 \(gcd(P,v_1,v_2,v_3...v_n)|w_i\) 则可以构成 \(w_i\) 所以我们直接背包一下就可以了,设 \(m\) 为 \(P\) 的约数个数,\(m\) 最多是 \(n^{\frac{1}{3}}\) 那么复杂度就是 \(O(n*m*logP)\) 容易发现如果 \(gcd(v_i,P)=gc…

题目分析: 首先打个暴力求一下$10^9$以内因子最多的数的因子个数,发现只有$1344$个. 由于有$ax+by=k*(a,b)$和2017年noip的结论,所以我们可以发现对于任意多个数$a_1,a_2,a_3,...,a_n$他们能组成的数是$k$倍的最大公约数,$k$任取.我们发现如果$gcd%p$不是$w$的因子那么不行,否则可行.所以把$a$数组全部模$p$,再归类为每个因子,再处理相互之间能构建出来的$gcd$,再用莫比乌斯函数做一下容斥,再处理出每个因子的因子和,再对每个输入的$…

正解:数论+dp 解题报告: 传送门! 首先看到这题,跳无数次,自然而然可以想到之前考过好几次了的一个结论——如果只考虑无限放置i,它可以且仅可以跳到gcd(p,v[i]) 举一反三一下,如果有多个i,表示成a[i]好了,那就一定是能跳到gcd(p,v[a[1]],v[a[2]],..,v[a[n]]),因为这个太长了后面单一个gcd就指的它 挺显然的这儿不证明了QAQ 然后这儿就相当于是问有多少种a[i]的方案能满足gcd|gcd(p,w) 然后因为多组询问,显然考虑能不能预处理一个f[i]:…

题目描述 输入 输出 样例输入 3 2 1 3 2 5 1 样例输出 8 6 75 题解 语文题+数论+dp 花了大段讲述什么叫mu,什么叫phi,只是新定义的mu将2看作有平方因子,新定义的phi(1)=0. 要求的就是mu值为1的数的phi值之和.所有mu值为-1的phi值之和.以及所有mu值为0的phi值之和. 先只考虑前两种,此时无论质因子有多少个,能够使用的只有1个.如果p不是2,那么就有两种情况:使用和不使用.使用的话,素数个数+1,也就是mu变为相反数. 又因为phi是积性函数,所…

[LOJ#3144][APIO2019]奇怪装置(数论) 题面 LOJ 题解 突然发现\(LOJ\)上有\(APIO\)的题啦,赶快来做一做. 这题是窝考场上切了的题嗷.写完暴力之后再推了推就推出正解了... 考虑\(t1,t2\)两个时刻,如果两个时刻的\((x,y)\)相等的话,考虑是一种什么样的情况. \[\begin{cases} t_1+[\frac{t_1}{B}]\equiv t_2+[\frac{t_2}{B}](\mod A)\\ t_1\equiv t_2(\mod B) \…

背包 0/1背包 设dp[i][j]为前i个物品选了j体积的物品的最大价值/方案数 dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j])(最大价值) dp[i][j]=dp[i-1][j-w[i]]+dp[i-1][j](方案数) 输出方案: dp[i][j]=max(dp[i-1][j-w[i]]+v[i],dp[i-1][j]) 看方程,我们可以记录第i个物品选不选,如果选,再递归到dp[i-1][j-w[i]]即可 有价值的情况下记录最优策略方案数 ①…

正解:数论$dp$ 解题报告: 传送门$QwQ$ 考虑先质因数分解.所以$G$就相当于所有系数取$min$,$L$就相当于所有系数取$max$ 这时候考虑,因为数据范围是$1e8$,$1e8$内最多有8个不同质因子,所以考虑状压记录每个质因子的系数是否取到了上界&下界. 状压$dp$就完事了. $dbq$写得有点简陋,仔细港下趴$kk$ 首先经过前面一番操作,题目已经变成了,给定一些集合,求或起来为全集的方案数$QwQ$ 考虑这个强制选$x$怎么搞鸭,先设$st$表示$x$的状态,$tot$表示…

题解 复杂度怎么算也要2s的题怎么0.5s就跑完了,迷啊 这个题简直算完复杂度不敢写,写了就赚飞了好吧 根据裴蜀定理,显然选出的数和P的gcd是w的约数 我们考虑枚举\(P\)的约数,上限当然是\(\sqrt{P}\)个,写个暴力搜一下发现最多也就13000个左右 然后我们把每个数处理成\(gcd(a_i,P)\) 重标号所有约数 那么我们写个\(n^2\)的\(dp[i][j]\)表示处理到第\(i\)个约数,然后这些数的\(gcd\)是第\(j\)个约数 然后再\(n^2\)将\(val[j…

昨天晚上写的一题 结果USACO一直挂中 今天交了下 有一点点的数论知识  背包很好想 就是不好确定上界 官方题解: 这是一个背包问题.一般使用动态规划求解. 一种具体的实现是:用一个线性表储存所有的节点是否可以相加得到的状态,然后每次可以通过一个可以相加得到的节点,通过加上一个输入的数求出新的可以相加得到的点.复杂度是O(N×结果). 但是可以证明结果不会超过最大的两个数的最小公倍数(如果有的话).参见数论.所以复杂度也是O(Na2),完全可以接受了. 判断无限解可以按上面的方法,另外也可以算…

A - Robberies Time Limit:1000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Practice HDU 2955 Appoint description: Description The aspiring Roy the Robber has seen a lot of American movies, and knows that the bad guys usu…

题目链接:http://codeforces.com/problemset/problem/189/A 题意:给你长为n的绳子,每次只允许切a,b,c三种长度的段,问最多能切多少段.注意每一段都得是a,b,c中长度的一种. 解法:这个题可以看作是完全背包,但是由于切割长度有限制,所以要做一些调整.我们初始化dp(i)为长度为i时的最优解.一开始dp(a)=dp(b)=dp(c)=1是显而易见的,我们转移的起点也是这里.我们不希望枚举到不符合条件的情况,所以多一步判断:dp[j-w[i]] !=…

分析:首先定义状态dp[i][j][s1][s2]代表前i个物品中,选若干个物品,总价值为j 其中s1个物品时必选,s2物品必不选的方案数 那么转移的时候可以考虑,第i个物品是可选可可不选的 dp[i][j][s1][s2]+=dp[i-1][j][s1][s2]+dp[i-1][j-a[i]][s1][s2] 或者第i个物品必选,或者必不选 dp[i][j][s1][s2]+=dp[i-1][j-a[i]][s1-1][s2]+dp[i-1][j][s1][s2-1] 一点感想:这个题边界时d…

题目: 链接:点击打开链接 题意: 非常明显的依赖背包. 思路: dp[i][j]表示以i为根结点时攻击j个城堡得到的最大值.(以i为根的子树选择j个点所能达到的最优值) dp[root][j] = max(dp[root][j],dp[root][k]+dp[u][j-k]); u递归根结点,root当前根结点,每一个城堡之间的依赖关系形成森林.应该转化为树.再树形dp.仅仅需添加一个根结点即可.m++. 代码: #include<iostream> #include<cstdio&g…

题解 很显然,对于一个确定的排列,每个数字的移动规则是一定的,我们根据这个排列,把它抽象为i向a[i]连一条边,很显然最后会构成一个环,那么行数就是这些环长的lcm. 那么问题变成了把n任意进行划分,求它们能够组成的lcm的个数. 我们发现,只有素数会对答案有影响,所以我们就对每个素数以及它们的幂跑一边01背包,最后统计答案即可. 代码 #include<iostream> #include<cstdio> #define N 1009 using namespace std; l…

[p1332][NYOJ skiing] 滑雪  (dp+搜索) [p1312] [vjios1448 路灯改建计划] 关灯问题 (背包预处理的分组背包) f[i][j]表示给把前i个灯分为j组可以获得的最大照明度 g[i][j]表示第i盏灯到第j盏灯分为一组在满足前提条件下的最大照明度 在预处理g[i][j]的i循环内,用一个d[x][y]数组先预处理出:[i,x]内所有编号的灯总耗电量y时的最大照明度(y的上限显然为(n-i+1)*t)然后g[i][j]=d[j][(j-i+1)*t]即可得…

题目来源:洛谷P1541 思路 类似背包的题 总之就是四种卡牌取的先后顺序不同导致的最终ans不同 所以我们用一个四维数组每一维分别表示第几种取了几张的最大分数 然后就是简单DP解决 代码 #include<iostream> using namespace std; #define maxn 355 int n,m,ans; ],point[maxn]; ][][][]; int main() { cin>>n>>m; ;i<=n;i++) cin>>…

题目引入: 有n个重量和价值分别为Wi,Vi的物品.从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品,求所有挑选方案中的价值总和的最大值. 分析: 首先,我们用最普通的方法,针对每个物品是否放入背包进行搜索. #include<iostream> #include<stdio.h> using namespace std; int n,W; int w[100],v[100]; ///从第i个物品开始挑选总重量小于j的部分 int res(int i,int j)///i表示第i件物品,j表…

题目链接:https://www.luogu.org/problem/show?pid=2737 题目大意:农夫布朗的奶牛们正在进行斗争,因为它们听说麦当劳正在考虑引进一种新产品:麦香牛块.奶牛们正在想尽一切办法让这种可怕的设想泡汤.奶牛们进行斗争的策略之一是“劣质的包装”.“看,”奶牛们说,“如果你只用一次能装3块.6块或者10块的三种包装盒包装麦香牛块,你就不可能满足一次只想买1.2.4.5.7.8.11.14或者17块麦香牛块的顾客了.劣质的包装意味着劣质的产品.” 你的任务是帮助这些奶牛…

ywy神犇太巨辣!!一下就明白了!! 题意:求$lcm(a_1,a_2,...,a_k)$的种类,其中$\Sigma\space a_i <=n$,$a_i$相当于环长 此处的$DP$,相当于是在求$lcm(a_1,a_2,...,a_k)$按算术基本定理分解的式子的种类. 感性理解一下,一堆>=2的数,加起来一定比乘起来小,但是我们又要保证他们互质(否则就亏了,不如同时去掉gcd),所以就每个数就是一个质数的幂. 所以这一堆数大致就是形如$p_i^{k_i}$这种样子的 所以可以背包转移:把…

时间限制:1 秒 内存限制:32 兆 特殊判题:否 提交:1814 解决:798 题目描述:     每年毕业的季节都会有大量毕业生发起狂欢,好朋友们相约吃散伙饭,网络上称为"bg".参加不同团体的bg会有不同的感觉,我们可以用一个非负整数为每个bg定义一个"快乐度".现给定一个bg列表,上面列出每个bg的快乐度.持续长度.bg发起人的离校时间,请你安排一系列bg的时间使得自己可以获得最大的快乐度.     例如有4场bg:     第1场快乐度为5,持续1小时,发…