最近学习了nim博弈,但是始终无法理解sg函数为什么sg[S]=mex(sg[S'] | S->S'),看到一篇博文解释的不错,截取了需要的几章节. 四.Sprague-Grundy数的提出 我们以Flip Game为例,研究一下胜态还有什么更深入的性质. 状态“++”是最简单的胜态,它只有一种走法,结果是败态.状态“+++”跟“++”在这一点上是一样的,因此它们其实是等价状态.状态“++++”就有两种不同的走法(对称的走法算同一种):一是把中间两个加号变成减号,这样得到的次态“+--+”是个败…

首先理解sg函数必须先理解mex函数 mex是求除它集合内的最小大于等于0的整数,例:mex{1,2}=0:mex{2}=0:mex{0,1,2}=3:mex{0,5}=1. 而sg函数是啥呢? 对于任意状态 x , 定义 sg(x) = mex(f),其中f 是 x 后继状态的sg函数值的集合(就是上述mex中的数值).最后返回值(也就是sg(x))为0为必败点,不为零必胜点. 看不懂,咱直接来个例子: 例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么…

sg,是用来判断博弈问题的输赢的,当sg值为0的时候,就是输,不为0就是赢: 在这之前,我们规定一个对于集合的操作mex,表示最小的不属于该集合的非负整数. 举几个栗子:mex{0,1,2}=3,mex{1,2,3}=0,mex{0,1,3}=2: 而我们要求的sg的值就和这个有关,定义SG函数:SG(x)=mex{ SG(y) | y是x的后继,也就是经过操作可以取得的剩下值 }. 举个栗子:比如一堆石子,我们可以取任意个,那么x个石子的石子的sg值是多少呢? 可以知道,0个石子sg为0,一的…

转载自知乎牛客竞赛——博弈论入门(函数讲解+真题模板) SG函数 作用 对于一个状态i为先手必胜态当且仅当SG(i)!=0. 转移 那怎么得到SG函数尼. SG(i)=mex(SG(j))(状态i可以通过一步转移到j) 首先说一下mex.一个集合的mex是最小的没有出现在这个集合里的非负整数. 其实想一下这个也是挺明显的.状态i是先手必败态当前仅当i转移到的状态都是先手必胜态.同样,只要当前状态可以转移到一个先手必败态,那么当前就是先手必胜态. 小定理 对于两个独立的游戏A,B,他们的SG函数=…

D - Partitioning Game Time Limit:4000MS     Memory Limit:32768KB     64bit IO Format:%lld & %llu Submit Status Description Alice and Bob are playing a strange game. The rules of the game are: Initially there are n piles. A pile is formed by some cell…

SG函数 个人理解:SG函数是人们在研究博弈论的道路上迈出的重要一步,它把许多杂乱无章的博弈游戏通过某种规则结合在了一起,使得一类普遍的博弈问题得到了解决. 从SG函数开始,我们不再是单纯的同过找规律等方法去解决博弈问题,而是需要学习一些博弈论中基本的定理,来找到他们的共同特点 那么就先介绍几个最基本的定理(也可以叫常识)吧 基本定理 ICG游戏 1.游戏有两个人参与,二者轮流做出决策.且这两个人的决策都对自己最有利. 2.当有一人无法做出决策时游戏结束,无法做出决策的人输.无论二者如何做出决策…

S-Nim Time Limit: 2000MS   Memory Limit: 65536KB   64bit IO Format: %I64d & %I64u Submit Status Description Arthur and his sister Caroll have been playing a game called Nim for some time now. Nim is played as follows: The starting position has a numb…

复习csp2019的时候稍微看了看博弈论,发现自己对于sg函数的理解完全不到位 有些定义甚至想都没想过 于是就口胡了一篇blog来安慰虚弱的自己 Question 1 对于一个满足拓扑性质的公平组合游戏 若定义一个函数\(f\),\(f(P状态)=0\) 假设当前状态为\(a\),它对局面的定义合法 那么\(f=sg\) 可以发现,它就是\(Muti-sg\)问题的核心,接下来我们希望证明这个问题的正确性 首先,先弄清几个定义 对于后继 指的是一步转移到的状态 后继一定不会等于当前状态 对于局面…

首先定义mex(minimal excludant)运算,这是施加于一个集合的运算,表示最小的不属于这个集合的非负整数.例如mex{0,1,2,4}=3.mex{2,3,5}=0.mex{}=0. 对于一个给定的有向无环图,定义关于图的每个顶点的Sprague-Grundy函数g如下:g(x)=mex{ g(y) | y是x的后继 },这里的g(x)即sg[x] 例如:取石子问题,有1堆n个的石子,每次只能取{1,3,4}个石子,先取完石子者胜利,那么各个数的SG值为多少? sg[0]=0,f[…

提议分析: 1 <= N <= 4747 很明显应该不会有规律的,打表发现真没有 按题意应该分成两种情况考虑,然后求其异或(SG函数性质) (1)找出单独的一个(一列中只有一个) (2)找出连续的两个都没有涂色的求SG值(打表) #include<stdio.h> #include<string.h> #define Max 4750 int dp[Max]; int mex[Max]; int flag[Max]; void Gsdp() { int i,j; int…