时光匆匆,转眼间又是一年寒暑…… 这是小 Q 同学第二次参加省队选拔赛. 今年,小 Q 痛定思痛,不再冒险偷取试题,而是通过练习旧 试题提升个人实力.可是旧试题太多了,小 Q 没日没夜地做题,却看不到前方的光明在哪里. 一天,因做题过度而疲惫入睡的小 Q 梦到自己在考场上遇到了一道好像做过的题目,却怎么也想不 起曾经自己是怎么解决它的,直到醒来还心有余悸. 小 Q 眉头一皱,感觉事情不妙,于是他找到了你,希望你能教他解决这道题目.小 Q 依稀记得题目 要计算如下表达式的值 $({\sum_{i=…

国际惯例的题面首先我们进行一些相对显然的数学变化.解释一下第二行的那个变形,如果一个数是ijk的因数,那么它一定能被分解成三部分分别是i,j,k的因数.我们钦定一个质数只能在三部分的一个中出现.如果一个质数仅在ijk中的一个数中出现这样显然是对的,而在多个中出现的话,它贡献答案的次数为它出现的总次数+1次.而考虑把ijk的乘积分解质因数,然后考虑每个质数的贡献,会发现每个质数贡献答案的次数恰好为它的次数+1次,所以这样是对的.然后就是分析最后的这个公式了.右边的三个小求和号里的东西显然可以大力n…

[BZOJ5332][SDOI2018]旧试题(数论,三元环计数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 如果只有一个\(\sum\),那么我们可以枚举每个答案的出现次数. 首先约数个数这个东西很不爽,就搞一搞,变成\(\displaystyle \sum_{d|i}1\) 那么原式就可以写成:\(\displaystyle \sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C\sum_{d=1}^Ad|ijk\). 既然\(d|ijk\),意味着\(d\)可以分别拆成\(i\)的一个…

推狮子的部分 \[ \sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C\sigma(ijk) =\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{z|k}\epsilon(\gcd(x,y))\epsilon(\gcd(y,z))\epsilon(\gcd(x,z))\\ =\sum_{i=1}^A\sum_{x|i}\sum_{j=1}^B\sum_{y|j}\sum_{k=1}^C\sum_{z|…

题目 P4619 [SDOI2018]旧试题 Ps:山东的题目可真(du)好(liu),思维+码量的神仙题 推式 求\(\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^Cd(ijk)\) \(Ans=\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^Cd(ijk)\) \(~~~~~~~=\sum_{i=1}^{A}\sum_{j=1}^{B}\sum_{k=1}^{C}\sum_{d|i}\sum_{t|j}\sum_{p|k}\epsilon((d,…

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传送门 这道题的思路似乎可以给很多同时枚举三个量的反演题目提供一个很好的启发-- 首先有结论:\(d(ijk) = \sum\limits_{x|i}\sum\limits_{y|j}\sum\limits_{z|k}[x \perp y][y \perp z][x \perp z]\).正确性证明考虑:对于质数\(p\),设\(i,j,k\)中质因子\(p\)的个数为\(a,b,c\).在\(x,y,z\)中至多只能有\(1\)个数含质因子\(p\),有以下情况:\(x,y,z\)中都没有\(…

传送门 Description \[ \sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^Cd(ijk) (\mathrm{mod\:} 10^9+7) \] 其中 \(d(ijk)\) 表示 \(i × j × k\)的约数个数. Solution 首先,有一个公式 \[ σ_0(n_1n_2···n_m) =\sum_{a_1|n_1}\sum_{a_2|n_2}···\sum_{a_m|n_m}\prod_{1≤i \neq j≤m} [a_i ⊥ a_j] \] 所以,…

题意 题目链接 Sol 神仙反演题.在洛谷上疯狂被卡常 Orz shadowice #include<bits/stdc++.h> #define Pair pair<int, int> #define MP make_pair #define fi first #define se second #define LL long long const int MAXN = 2e5 + 10, mod = 1e9 + 7; using namespace std; template…

题目链接 LOJ2476:https://loj.ac/problem/2476 LOJ2565:https://loj.ac/problem/2565 题解 参考照搬了 wxh 的博客. 为了方便,下文用 \((x, y)\) 表示 \({\rm gcd}(x, y)\). 先分析 LOJ2476. 注意到对于任意一个数组 \(a\),第 \(x\) 项的值 \(a_x\) 可以展开写成 \(\sum_\limits{i = 1}^{x} a_i[i = x]\),进一步地,有: \[\beg…