PS:本人第一次写随笔,写的不好请见谅. 接触MillerRabin算法大概是一年前,看到这个算法首先得为它的神奇之处大为赞叹,竟然可以通过几次随机数据的猜测就能判断出这数是否是素数,虽然说是有误差率,但是相对于他比其他素数判断的高效,真的是可以说是完美级.那时候忙于找工作,所以也没有细究,现在空下来终于对这个算法有了一定的理解. 先说两个定理: (1) 当x<p时,满足x^(p-1) % p = 1,说明x与p互质: (2) 当x<p时,满足x^2 % p = 1; x的解为 x = 1 或…

根据费马小定理: 对于素数n,a(0<a<n),a^(n-1)=1(mod n) 如果对于一个<n的正整数a,a^(n-1)!=1(mod n),则n必不是素数. 然后就可以随机生成  <n的数,如果都满足,那n就极有可能是素数. 看书上说,一次素数测试的成功率是 3/4,也就是失败率是1/4,那测m次是错误的概率为:(1/4)^m.可见m稍微大一点就基本不会出错. 但是还有一种数叫,卡迈克尔数. 卡迈克尔数: 一个合数n,对所有满足 gcd(b,n)=1的正整数b都有b^(n-1…

伪素数: 如果存在和n互素的正整数a满足a^(n-1)≡1(mod n),则n是基于a的伪素数. 是伪素数但不是素数的个数是非常非常少的,所以如果一个数是伪素数,那么他几乎是素数. Miller_Rabbin素数测试:随机选k个a进行a^(n-1)≡1(mod n)测试,如果都满足则判断n是素数. a^(n-1)%mod用快速幂计算.对于大数相乘(两个大于int的数相乘),中间结果可能溢出,所以需要用快速幂思想进行乘法取模. Miller_Rabbin的出错率为2^(-k). //Miller…

基本原理: 费尔马小定理:如果p是一个素数,且0<a<p,则a^(p-1)%p=1.        利用费尔马小定理,对于给定的整数n,可以设计素数判定算法,通过计算d=a^(n-1)%n来判断n的素性,当d!=1时,n肯定不是素数,当d=1时,n  很可能是素数. 二次探测定理:如果p是一个素数,且0<x<p,则方程x^2%p=1的解为:x=1或x=p-1.        利用二次探测定理,可以再利用费尔马小定理计算a^(n-1)%n的过程中增加对整数n的二次探测,一旦发现违背二…

Miller Robin算法 当要判断的数过大,以至于根n的算法不可行时,可以采用这种方法来判定素数. 用于判断大于2的奇数(2和偶数需要手动判断),是概率意义上的判定,因此需要做多次来减少出错概率. Template: typedef long long ll; ll kmul(ll a,ll b,ll mod) { ll res=0; while (b) { if (b&1) res=(res+a)%mod; a=(a+a)%mod; b>>=1; } return res; }…

我们首先看这样一个很简单的问题:判定正整数\(n\)是否为素数 最简单的做法就是枚举\(2\)到\(n\)的所有数,看是否有数是\(n\)的因数,时间复杂度\(O(n)\) 稍微优化一下发现只要枚举\(2\)到\(\sqrt{n}\)中的数就可以了 然后发现数据范围\(n\leq 10^{18}\),时间复杂度直接就死掉了QAQ 我们就要考虑新的方法了 首先引入两个定理 1.费马小定理 如果\(p\)是素数,且\(gcd(a,b)=1\),那么\(a^{p-1}\equiv 1(mod \ n)…

Miller-Rabin算法本质上是一种概率算法,存在误判的可能性,但是出错的概率非常小.出错的概率到底是多少,存在严格的理论推导. 一.费马小定理 假如p是质数,且gcd(a,p)=1,那么 a(p-1)≡1(mod p) 如果存在a<p,且a(p-1) % p != 1,则p肯定不是素数. 二.有限域上的平方根定理 三.Miller-Rabin算法 对于一个大数n,判断n是不是素数的时候,可以先考虑a(n-1)≡ 1(mod n) 对于n-1,一定可以拆分成2s+d: 可以从x = ad开始…

抄别人的 #include<stdio.h> #include<string.h> #include<algorithm> #include<stdlib.h> #include<time.h> #include<map> using namespace std; typedef long long ll; map<ll,int>m1; ll random(ll n) { return ((double)rand()/RA…

这个感觉还是挺好理解的,就是复杂度证明看不懂~ Code: #include <cstdio> #include <algorithm> #include <cstring> #include <cmath> #define ll long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) int array[10]={2,3,5,7,11,13,17,23}; using…

基础素数测试模板 对于大数的素性判断,目前Miller-Rabin算法应用最广泛.一般底数仍然是随机选取,但当待测数不太大时,选择测试底数就有一些技巧了.比如,如果 被测数小于4759123141,那么只需要测试三个底数 a[]={2,7,61} 就足够了.当然,测试的越多,正确的范围也越大.如果你每次都用前7个素数 a[]={2,3,5,7,11,13,17} 进行测试,所有不超过341550071728320的数都是正确的.如果选用 a[]={2,3,7,61,24251} 作为底数,那么1…