bzoj3944 题目描述 输入 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 输出 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 样例输入 6 1 2 8 13 30 2333 样例输出 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 bzoj4805 同上,不需要求mu 题解 杜教筛 公式推导: 这里有一个难点(其实也不能算难),就是由枚举d|i到枚举j≤⌊n/i⌋.此时可以看作下面语句的i是上面语句的i/d,…

[BZOJ3944]Sum Description Input 一共T+1行 第1行为数据组数T(T<=10) 第2~T+1行每行一个非负整数N,代表一组询问 Output 一共T行,每行两个用空格分隔的数ans1,ans2 Sample Input 6 1 2 8 13 30 2333 Sample Output 1 1 2 0 22 -2 58 -3 278 -3 1655470 2 题解: 当i等于1时就是答案,剩余的部分递归算下去就行了(先预处理出1000000以内的答案,其余的答案要用…

4805: 欧拉函数求和 Time Limit: 15 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 614  Solved: 342[Submit][Status][Discuss] Description 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N Input 正整数N.N<=2*10^9 Output 输出答案.   Sample Input 10 Sample Output 32 HINT   Source By FancyCoder   直…

https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4805 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N https://blog.csdn.net/popoqqq/article/details/45023331 ←杜教筛的一些讲解 杜教筛用来求积性函数前缀和,本题同bzoj 3944,bzoj 3944多了一个求sigma( μ ( i ) ) #include<iostream> #include<cstd…

做题重心转移到 LOJ 了. 至于为什么,如果你知道“……”的密码,就去看吧. LOJ 上用户自创题大多数都不可做,今天看到个可做题(而且还是个水题),就来做了一发. 明显枚举立方根.(以下令 $m=\lfloor\sqrt[3]{n}\rfloor$) $$\sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{j=i^3}^{\min(n,(i+1)^3-1)}\gcd(i,j)$$ 由于 $i=m$ 比较特殊,我们把它拎出来:(其实就是把 $\min$ 拆开) $$\sum\lim…

1239 欧拉函数之和 基准时间限制:3 秒 空间限制:131072 KB 分值: 320 难度:7级算法题 收藏 关注 对正整数n,欧拉函数是小于或等于n的数中与n互质的数的数目.此函数以其首名研究者欧拉命名,它又称为Euler's totient function.φ函数.欧拉商数等.例如:φ(8) = 4(Phi(8) = 4),因为1,3,5,7均和8互质. S(n) = Phi(1) + Phi(2) + -- Phi(n),给出n,求S(n),例如:n = 5,S(n) = 1 +…

[题意]给定n,求Σφ(i),n<=10^10. [算法]杜教筛 [题解] 定义$s(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi(i)$ 杜教筛$\sum_{i=1}^{n}(\varphi *I)(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|i}\varphi(d)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d=1}^{\frac{n}{i}}\varphi(d)$ 根据$id=\varphi*I$,$\sum_{i=1}^{n}(\varphi*I)(i)=\frac{i(i+1)…

和上一题差不多,一个是μ*I=e,一个是φ*I=Id 稍改就得到了这题的代码 (我会告诉你我一开始逆元算错了吗) #include <bits/stdc++.h> #define MAX 5000000 #define MOD 1000000007 using namespace std; long long a,b,N; ],p[MAX],ans[MAX]; ]; long long work(long long n) { if(n<=MAX) return phi[n]; if(an…

[BZOJ4805]欧拉函数求和(杜教筛) 题面 BZOJ 题解 好久没写过了 正好看见了顺手切一下 令\[S(n)=\sum_{i=1}^n\varphi(i)\] 设存在的某个积性函数\(g(x)\) \[(g*\varphi)(i)=\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[\sum_{i=1}^n(g*\varphi(i))(i)\] \[=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)\varphi(\frac{i}{d})\] \[=\sum…

题面 Description 给出一个数字N,求\(\sum\limits_{i=1}^n\varphi(i)\)i,1<=i<=N Input 正整数N.N<=2*10^9 Output 输出答案. Sample Input 10 Sample Output 32 题目分析 杜教筛模板题. 由\((1*\varphi)=Id\),取\(g(x)=1\). \[ S(n)=\frac {n \cdot (n+1)}2-\sum_{i=2}^nS(\frac ni) \] 代码实现 #in…

[51Nod 1244] - 莫比乌斯函数之和 求∑i=1Nμ(i)\sum_{i=1}^Nμ(i)∑i=1N​μ(i) 开推 ∑d∣nμ(d)=[n==1]\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1]d∣n∑​μ(d)=[n==1] 移项 μ(d)=[n==1]−∑d∣n,d<nμ(d)∴S(N)=∑i=1Nμ(i)=∑i=1N([i==1]−∑d∣i,d<iμ(d))=1−∑i=1N∑d∣i,d<iμ(d)\mu(d)=[n==1]-\sum_{d|n,d<n}\mu(d)\…

E - (例题)欧拉函数求和 Crawling in process... Crawling failed Time Limit:1000MS     Memory Limit:65536KB     64bit IO Format:%I64d & %I64u Submit Status Description A lattice point (x, y) in the first quadrant (x and y are integers greater than or equal to 0…

好久没写杜教筛了 练练手AC量刷起 # include <bits/stdc++.h> # define RG register # define IL inline # define Fill(a, b) memset(a, b, sizeof(a)) using namespace std; typedef long long ll; const int _(1e7 + 1); IL int Input(){ RG int x = 0, z = 1; RG char c = getchar…

题目链接: 1239:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1239 1244:http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1244 杜教筛裸题,不过现在我也只会筛这俩前缀和... $$s(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$$ 那么就有: $$\sum_{i=1}^{n}f(i)\lfloor \frac{n}{i} \…

欧拉函数: φ(n)=n*(1-1/p1)(1-1/p2)....(1-1/pk),其中p1.p2-pk为n的所有素因子.比如:φ(12)=12*(1-1/2)(1-1/3)=4.可以用类似求素数的筛法.(素数打表)先筛出n以内的所有素数,再以素数筛每个数的φ值.比如求10以内所有数的φ值:设一数组phi[11],赋初值phi[1]=1,phi[2]=2...phi[10]=10:然后从2开始循环,把2的倍数的φ值*(1-1/2),则phi[2]=2*1/2=1,phi[4]=4*1/2=2,p…

解题思路类似莫比乌斯函数之和 题目大意:求[1,n]内的欧拉函数$\varphi$之和.($n<=2*10^{9}$) 思路:令$ M(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi (i)  $,题目所求即为$ M(n) $. 由于$ \sum_{d|n} \varphi (d)=n $ ,所以$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i} \varphi (d)=\frac{n(n+1)}{2} $ 令$ i=kd $,则有$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i} \…

Description 给出一个数字N,求sigma(phi(i)),1<=i<=N Input 正整数N.N<=2*10^9 Output 输出答案. Sample Input 10 Sample Output 32 Solution 杜教筛裸题 #include<bits/stdc++.h> #define ui unsigned int #define ll long long #define db double #define ld long double #defi…

1244 莫比乌斯函数之和 基准时间限制:3 秒 空间限制:131072 KB 分值: 320 难度:7级算法题 收藏 关注 莫比乌斯函数,由德国数学家和天文学家莫比乌斯提出.梅滕斯(Mertens)首先使用μ(n)(miu(n))作为莫比乌斯函数的记号.具体定义如下: 如果一个数包含平方因子,那么miu(n) = 0.例如:miu(4), miu(12), miu(18) = 0. 如果一个数不包含平方因子,并且有k个不同的质因子,那么miu(n) = (-1)^k.例如:miu(2), mi…

题目链接 map: //杜教筛 #include<map> #include<cstdio> typedef long long LL; const int N=5e6; int mu[N+3],P[N+3],cnt; bool Not_P[N+3]; std::map<LL,LL> sum; //std::map<LL,LL>::iterator it; void Init() { mu[1]=1; for(int i=2;i<N;++i) { if…

虽然都写了,过也过了,还是觉得杜教筛的复杂度好玄学 设f*g=h,∑f=S, 则∑h=∑f(i)S(n/i下取整) 把i=1时单独拿出来,得到 S(n)=(∑h-∑2->n f(i)S(n/i下取整) 右边的部分可以分块解决 递归一下,≤一个阈值的暴力表出来 注意阈值以上的也要记忆化 复杂度不会算,但从本题来看过1e10没问题 #include <bits/stdc++.h> #define MAX 5000000 using namespace std; long long a,b,N…

题目描述 设\(n=\prod a_i^{p_i}\),那么定义\(f_d(n)=\prod{(-1)^{p_i}[p_i\leq d]}\).特别的,\(f_1(n)=\mu(n)\). 给你\(n,k\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\sum_{d=1}^kf_d(\gcd(i,j)) \] \(n\leq {10}^{10},k\leq 40\) 题解 先做一些简单的处理 \[ \begin{align} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}…

归档. 试证明:\(\sum \limits _{d | x} \varphi (d) = x\) Lemma 1. 试证明:\(\sum \limits _{d | p^k} \varphi (d) = p ^k\),其中 \(p\) 为质数. 证明:显然,和 \(n\) 不互质的数一定含有 \(p\) 因子,而在 \([1, n]\) 中总共有 \(\lfloor \frac {n} {p} \rfloor = p ^{k - 1}\) 个含 \(p\) 因子的数,故可知 \(\varphi…

杜教筛 \[ \begin{split} (g*f)(i)&=\sum_{d|i}g(d)f(\frac id)\\ \Rightarrow g(1)S(n)&=\sum_{i=1}^n(g*f)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac ni) \end{split} \] 其中,\(S(x)\)为\(f()\)的前缀和. 套路一:\(\mu\) 由\((1*\mu)=e\),取\(g(x)=1\). \[ \begin{split} S(n)=1-\sum_{i=2}^nS…

[bzoj2190]: [SDOI2008]仪仗队 在第i行当且仅当gcd(i,j)=1 可以被看到 欧拉函数求和 没了 /* http://www.cnblogs.com/karl07/ */ #include <cstdlib> #include <cstdio> #include <cstring> #include <cmath> #include <map> #include <algorithm> using namesp…

http://poj.org/problem?id=2154 大致题意:由n个珠子,n种颜色,组成一个项链.要求不同的项链数目.旋转后一样的属于同一种.结果模p. n个珠子应该有n种旋转置换.每种置换的循环个数为gcd(i,n).假设直接枚举i,显然不行.可是我们能够缩小枚举的数目. 改为枚举每一个循环节的长度L,那么对应的循环节数是n/L.所以我们仅仅需求出每一个L有多少个i满足gcd(i,n)= n/L.就得到了循环节数为n/L的个数. 重点就是求出这种i的个数. 令cnt = gcd(i,…

题目链接 简单的数学题 题目描述 输入一个整数n和一个整数p,你需要求出 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n (i\cdot j\cdot gcd(i,j))\ mod\ p\]  其中\(gcd(a,b)\)表示\(a\)与\(b\)的最大公约数 输入 一行两个整数\(p,n\) 输出 一行一个整数,为题目中所求值 样例 样例输入 998244353 2000 样例输出 883968974 数据范围 \(n\leq 10^{10}\) \(5\times 10^8 \leq…

一道杜教筛的板子题. 两个都是积性函数,所以做法是一样的.以mu为例,设\( f(n)=\sum_{d|n}\mu(d) g(n)=\sum_{i=1}^{n}f(i) s(n)=\sum_{i=1}^{n}\mu(i) \),然后很显然对于mu\( g(n)=1\),对于phi\( g(n)=n*(n+1)/2 \),然后可以这样转化一下: \[ g(n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}\mu(d) \] \[ =\sum_{d=1}^{n}\mu(d)\left \lflo…

题目描述 给出 $n$ 和 $p$ ,求 $(\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j))\mod p$ . $n\le 10^{10}$ . 题解 欧拉函数(欧拉反演)+杜教筛 推式子: $$\begin{align}&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\gcd(i,j)\\=&\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nij\sum\limits_{d|…

第一问是来搞笑的.由欧拉函数的计算公式容易发现φ(i2)=iφ(i).那么可以发现φ(n2)*id(n)(此处为卷积)=Σd*φ(d)*(n/d)=nΣφ(d)=n2 .这样就有了杜教筛所要求的容易算前缀和的两个函数.一通套路即可. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<algorith…

点此看题面 大致题意: 多组询问,求\(\sum_{i=L}^R\sum_{j=i+1}^Rgcd(i,j)\). 推式子 这道题我们可以考虑,每个因数\(d\)被统计答案的次数,肯定与其出现次数有关. 设它出现次数为\(cnt_d\),则可以猜测答案为: \[\sum_{d=1}^nd\cdot C_{cnt_d}^2\] 这显然是错的,因为\(d\)虽作为公因数,却不一定是最大公约数. 所以就可以考虑容斥. 对于一个统计过的数\(x\),按照我们先前的做法,对于任意\(d|x\),\(d\)…