看了网上众多博客后,我才发现,实现min_25只有脑子,没有代码. 当然可能是我太ruo了. min_25是一种想法,不是算法. 不要尝试套模板,因为很多题目并没有什么用. 最重要的一点,g不要看成是函数,而是埃式筛第j轮后的剩下的数的F之和:S看成dp来做,也不要记忆化. 1.求[1,n]中素数个数.n≤1E11 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long int ll; ; ll n,prime[maxn],…

P5325 [模板]Min_25筛 题目背景 模板题,无背景. 题目描述 定义积性函数$f(x)$,且$f(p^k)=p^k(p^k-1)$($p$是一个质数),求 $$\sum_{i=1}^n f(x)$$ 对$10^9+7$取模. 输入输出格式 输入格式: 一行一个整数$n$. 输出格式: 一个整数表示答案. 输入输出样例 输入样例#1: 复制 10 输出样例#1: 复制 263 输入样例#2: 复制 1000000000 输出样例#2: 复制 710164413 说明 $f(1)=1,f(…

题目大意 给你 \(n,m\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{x_1,x_2,\ldots,x_m=1}^i\operatorname{lcm}(\gcd(i,x_1),\gcd(i,x_2),\ldots,\gcd(i,x_m)) \] 对 \({10}^9+7\) 取模. \(nm\leq {10}^9\) 题解 先推一下式子: \[ ans=\sum_{i=1}^n\sum_{x_1,x_2,\ldots,x_m=1}^i\operatorname{lcm}(\gcd(i,…

题目大意 给你 \(n,k\),求 \[ S_k(n)=\sum_{i=1}^n\sigma_0(i^k) \] 对 \(2^{64}\) 取模. 题解 一个min_25筛模板题. 令 \(f(n)=\sigma_0(n^k)\),那么 \(S_k(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\),而且 \[ \begin{cases} f(1)&=1\\ f(p)&=k+1\\ f(p^c)&=kc+1 \end{cases} \] 直接上min_25筛就好了. 时间复杂度:\(O(\…

题目描述 记\(sgcd(i,j)\)为\(i,j\)的次大公约数. 给你\(n\),求 \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k \] 对\(2^{32}\)取模. \(n\leq {10}^9,k\leq 50\) 题解 记\(f(n)\)为\(n\)的次大因数 显然\(sgcd(i,j)=f(gcd(i,j))\) 先推一波式子. \[ \begin{align} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n{sgcd(i,j)}^k\\ =&a…

题目描述 给你\(n\),求 \[ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)} \] 对\({10}^{12}+39\)取模. \(\sigma_0(i)\)表示约数个数. 题解 把式子拆成两部分: \[ \prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i+\mu(i)}=\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{i}\prod_{i=1}^n{\sigma_0(i)}^{\mu(i)} \] 先看前面这部分 \[ \begin{align}…

先定义几个符号: []:若方括号内为一个值,则向下取整,否则为布尔判断 集合P:素数集合. 题目分析: 题目是一个积性函数.做法之一是洲阁筛,也可以采用Min_25筛. 对于一个可以进行Min_25筛法的积性函数,它需要满足与洲阁筛相同的条件,即: 对于$f(p), p \in P$,它可以多项式表出.对于$f(p^k),p \in P$可以被快速计算出. 这道题中$f(p) = p-1$再对$2$进行修正即可. 对于1的情况我们单独考虑,现在我们对答案进行一些变换. $$\sum_{i=2}^…

[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛 莫比乌斯反演 做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})g(d)\end{aligned}\] 实际上还有 \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{d|n}f(d)\\f(n)&=\sum_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)\end{aligned}\] 证明可以看看这里,…

题目链接 \(Description\) 给定\(n\),求\(1\sim n\)中的素数个数. \(2\leq n\leq10^{11}\). \(Solution\) Min_25筛.只需要求出\(g(n,|P|)\). 跑的好慢啊QAQ //5283ms 11.62M #include <cmath> #include <cstdio> #include <algorithm> typedef long long LL; const int N=317000<…

题目链接 Min_25筛见这里: https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/9185093.html https://www.cnblogs.com/zhoushuyu/p/9187319.html https://www.cnblogs.com/SovietPower/p/10101811.html \(Description\) 给定\(n\),求积性函数\(f(p^c)=p\oplus c\)的前缀和.\(\oplus\)表示异或运算. \(n\leq 10^{10}…