转自:http://lanqi.org/skills/10939/ 卡特兰数 — 计数的映射方法的伟大胜利 发表于2015年11月8日由意琦行 卡特兰(Catalan)数来源于卡特兰解决凸$n+2$边形的剖分时得到的数列$C_n$,在数学竞赛.信息学竞赛.组合数学.计算机编程等方面都会有其不同侧面的介绍．卡特兰问题的解决过程应用了大量的映射方法,堪称计数的映射方法的典范．为了便于读者理解,我们先介绍一些卡特兰问题的简单变形,再介绍卡特兰问题及其解法． 问题一 进出栈 栈是一种先进后出(FILO,…

引入 今天听学长讲了卡特兰数列后对其有了更深的认识,在此完善了一下之前的博客加以总结. 首先用一个经典的例子来描述一下Catalan数列,我们有一个1~n的数列和一个大小为n的栈,我们有如下两种操作: 当未入栈序列不为空时,使序列的第一个元素入栈. 当栈不为空时,使栈顶元素出栈. 我们可以显然地发现,如果我们选择操作的顺序不同,我们最后所形成的出栈序列也不相同,那么有多少种出栈序列呢? 而这个数列中的C(n),就是我们所定义的Catalan数列. 如果我们把所有每一次的操作都写出来,可以得到一个…

fibonacci数列的性质和实现方法 1.gcd(fib(n),fib(m))=fib(gcd(n,m)) 证明:可以通过反证法先证fibonacci数列的任意相邻两项一定互素,然后可证n>m时gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(n-m),fib(m)),递归可 求gcd(fib(n),fib(m))=gcd(fib(k),fib(l)),最后k=l,不然继续递归.K是通过展转相减法求出,易证k=gcd(n,m),所以gcd(fib(n),fib(m)) =fib(gcd(n…

题目链接:https://cn.vjudge.net/contest/270201#problem/D 具体思路:利用斐波那契数列的性质,斐波那契数列可以构成任何正整数,所以按照顺序减下去肯定能减到0. 斐波那契数列  1 1 2 3 5 8 13 21 .....比如说给你一个20,先减去13,还剩7,然后再减去5,然后再减去2,这样就行了. 并且减去的位置不是相邻的.对于这个题来说,要反着思考,从第199到200有一种跳法,从198到200有两种跳法,依次往下递归就可以了.这样有什么好处?防…

Fibonacci 数列 设f(x)=1,x∈{1,2}=f(x−1)+f(x−2),x∈[3,∞)\begin{aligned}f(x)&=1,\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad x\in\{1,2\}\\ &=f(x-1)+f(x-2),\quad x\in[3,∞) \end{aligned}f(x)​=1,x∈{1,2}=f(x−1)+f(x−2),x∈[3,∞)​ 则 f(x)f(x)f(x) 的通项公式为f(x)=15[(…

引言 在开始论述之前,我想请大家先看下这几个问题: 有 \(2n\) 个人排成一行进入剧场.入场费 5 元.其中只有 \(n\) 个人有一张 5 元钞票,另外 \(n\) 人只有 10 元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有 10 元的人买票,售票处就有 5 元的钞票找零? 一位大城市的律师在她住所以北 \(n\) 个街区和以东 \(n\) 个街区处工作.每天她走 \(2n\) 个街区去上班.如果他从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线,那么有多少条可能的道路? 在圆上选择 \(2…

1.斐波那契数列 P.S.:这里首项下标为 1 递推式:\[F_i=F_{i-1}+F_{i-2},F_1=F_2=1\] 性质: \(1.\sum^{n}_{i=1}F_{i}=F_{n+2}-1\) \(2.\sum^{n}_{i=1}F_i^2=F_n\ F_{n+1}\) \(3.\sum_{i=1}^{n}i\ F_i=n\ F_{n+2}-F_{n+3}+2\) \(4.F_{n+m}=F_n\ F_{m-1}+F_{m}\ F_{n+1}\) \(5.F_{2n}/F_{n}=F_…

E. Anniversary time limit per test2 seconds memory limit per test256 megabytes inputstandard input outputstandard output There are less than 60 years left till the 900-th birthday anniversary of a famous Italian mathematician Leonardo Fibonacci. Of c…

Fibonacci: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .... F[0] = 0; 1: gcd(Fn, Fm) = F[gcd(n, m)]; 当n - m = 1 或 2时满足,可用数学归纳法证明: 2: 特征方程为 x^2 = x + 1, 类Fibonacci数列的特征方程为:ax^2 = bx + c; aF[n] = bF[n - 1] + cF[n - 2]; 3: (证明方法为补项和数学归纳法) f[0] + f[1] + ... + f[n] = f[n +…

1485: [HNOI2009]有趣的数列 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 2105  Solved: 1117[Submit][Status][Discuss] Description 我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件: (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}: (2)所有的奇数项满足a1<a3<…<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<…<a2n: (3)任…

作者:寒小阳 时间:2013年9月. 出处:http://blog.csdn.net/han_xiaoyang/article/details/11938973. 声明:版权所有,转载请注明出处,谢谢. 0.前言 当年博主自己参加校招笔试面试时就遇到过几次catalan数相关的题目,今年又到了互联网招聘季,翻看下近期各大公司的笔试面试题,发现它依旧是很容易被考察的点.尴尬的是,博主自己觉得catalan数相关的题目不好归类到某种具体的数据结构或者算法里面(计算catalan数的那个小程序不算算法…

一.catalan数由来和性质 1)由来 catalan数(卡塔兰数)取自组合数学中一个常在各种计数问题中出现的数列.以比利时的数学家欧仁·查理·卡塔兰 (1814–1894)命名. 卡塔兰数的一般项公式为 令其为h(n)的话,满足h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (n>=2) 我们从中取出的Cn就叫做第n个Catalan数,前几个Catalan数是:1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862,…

思路:首先限制数很多,逐步来考虑,限制一很容易满足,考虑限制二,也就是让奇数位和偶数位上的数递增,限制三就是让奇数位上的数小于奇数位加一对应的偶数位上的数,那么我们可以把形成序列的过程看成加数的过程,从小到大逐步加(这显然满足限制一),然后加数的条件一是从小到大依次放奇数位或偶数位,因此也满足限制二,然后无论何时奇数位上的数一定要大于等于偶数位上的数,这样也满足了限制三,那么问题就转化成了按照如上条件放数的方案数,联系第二个条件,也就是无论何时奇数位上的数一定要大于等于偶数位上的数,联想到了什么…

#6164. 「美团 CodeM 初赛 Round A」数列互质 思路 : 对这个题来言,莫队可以 n*根号n 离线处理出各个数出现个的次数 ,同时可以得到每个次数出现的次数 , 但是还要处理有多少 次数 与ki互质 .根据数列的性质,无论这个区间多长,最长也就是 1 - n这个区间 ,所能产生的 不同的次数 也就是 根号 n 种  例如 长度为28的 数列    1 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 不同的次数 只有 7…

假设检验的基本思想: 若对总体的某个假设是真实的,那么不利于或者不能支持这一假设的事件A在一次试验中是几乎不可能发生的.如果事件A真的发生了,则有理由怀疑这一假设的真实性,从而拒绝该假设. 实质分析: 假设检验实质上是对原假设是否正确进行检验,因此检验过程中要使原假设得到维护,使之不轻易被拒绝:否定原假设必须有充分的理由.同时,当原假设被接受时,也只能认为否定该假设的根据不充分,而不是认为它绝对正确. 1.检验指定的数列是否服从正态分布 借助假设检验的思想,利用K-S检验可以对数列的性质进行检验…

[HNOI2009]有趣的数列 Description 我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件: (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}: (2)所有的奇数项满足a1<a3<...<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<...<a2n: (3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1<=i<=n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i. 现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列.…

数学归纳法 我们先来看一个例子: 我们让多诺米骨牌倒下的充要条件是: 第一块骨牌倒下: 假设当当前块骨牌倒下时,则他的后面一块也会倒下. 我们把这个例子给抽象出来就可以得到数学归纳法的证明过程: [第一数学归纳法]证明一个关于正整数n的命题P(n)成立: 当n=1时,P(1)成立. 当n≥2时,假设P(n-1)成立,则可以推出P(n)成立. [第二数学归纳法]证明一个关于正整数n的命题P(n)成立: 证明一个或几个初值成立. 假设n=k或n≤k(k∈N+)时命题成立,证明n=k+1时命题成立.…

Catalan数列是非常奇妙的一列数字,因为很多问题的解就是一个Catalan数.知道了这一规律,很多看似复杂的问题便可迎刃而解.那么什么是Catalan数,什么样的问题的解是Catalan数呢? 1,Catalan数 先来看一段Catalan数列:1,1,2,5,14,42,132,429,1430,4862,16796,即 h(0)=1,h(1)=1,h(2)=2,h(3)=5... 怎么求出来的呢?两种方式 (1) h(n)=h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-…

题目描述 我们称一个长度为2n的数列是有趣的,当且仅当该数列满足以下三个条件: (1)它是从1到2n共2n个整数的一个排列{ai}: (2)所有的奇数项满足a1<a3<...<a2n-1,所有的偶数项满足a2<a4<...<a2n: (3)任意相邻的两项a2i-1与a2i(1<=i<=n)满足奇数项小于偶数项,即:a2i-1<a2i. 现在的任务是:对于给定的n,请求出有多少个不同的长度为2n的有趣的数列.因为最后的答案可能很大,所以只要求输出答案 m…

P1775 古代人的难题_NOI导刊2010提高(02) P1936 水晶灯火灵 斐波那契数列 1．x,y∈[1…k],且x,y,k∈Z 2.(x^2-xy-y^2)^2=1 给你一个整数k,求一组满足上述条件的x,y并且使得x^2+y^2的值最大. 小FF得到答案后,用石笔将答案书写在羊皮纸上,那么就能到达王室的遗产所在地了. 证明可直接转%%大佬博客%% 化简式子: $(x^2-xy-y^2)^2=1$ $(y^2+xy-x^2)^2=1$ $((x+y)^2+xy+2*x^2)^2=1$…

题目中对卡特兰数的总结很不错 以下copy自题目 Catalan数列:1,1,2,5,14,42,(前面几个要背) 即 h(0)=1,h(1)=1,h(2)=2,h(3)=5...公式:h(n)=C(n,2n)/(n+1)    注:C(3,5)表示组合数5个数选3个的方案数 递推公式:h(n)=h(n-1)*(4*n-2)/(n+1); 是不是很简单呀?下面的题也是Catalan数: 1:有2n个人排成一行进入剧场.入场费5元.其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票, 剧院无其它…

Trees Made to Order Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions: 7155   Accepted: 4094 Description We can number binary trees using the following scheme: The empty tree is numbered 0. The single-node tree is numbered 1. All binary tre…

题面: Description 小Z是一个爱好数学的小学生.最近,他在研究一些关于整数数列的性质. 为了方便他的研究,小Z希望实现一个叫做"Open Continuous Lines Processor"的数列编辑器. 一开始,数列编辑器里没有数字,只有一个光标.这个数列编辑器需要支持五种操作. • \(\texttt{I}\) x 在当前光标前插入数字 x. • \(\texttt{D}\) 删除当前光标前的数字. • \(\texttt{L}\) 光标向前移动一个数字. • \(\…

转载于http://blog.csdn.net/creationaugust/article/details/513876231000:A+B 1001:平面图最小割,转对偶图最短路 1002:矩阵树定理,也可以通过推矩阵的递推关系得到递推式 1003:最短路+DP 1007:半平面交 1008:组合数学,需要高精 1010:斜率优化/四边形不等式推决策单调性 1012:线段树 1014:Splay维护字符串的Hash值 1016:矩阵树定理,相同权值压联通块,对一个联通块用一次矩阵树定理计算方…

1.一个数的约数和=(1+p1+p12+...+p1c1)*(1+p2+p22+...+p2c2)*...*(1+pk+pk2+...+pkck)(p为这个数的各个质因数,c表示为各个质因数的次方,k表示质因数个数) 2.求一个数的质因数只需要O(sqrt(n))的时间复杂度,先筛出素数,然后将原数除去小素数,如果原数最后不为1,那么这个数肯定也是素数 3.相邻的数交换使得最终成为上升序列,交换的次数为逆序对数 4.费马小定理:若p为质数,则$a^{p}≡a(mod\;p)$ 5.欧拉定理:若正…

A message containing letters from A-Z is being encoded to numbers using the following mapping: 'A' -> 1 'B' -> 2 ... 'Z' -> 26 Given an encoded message containing digits, determine the total number of ways to decode it. For example,Given encoded…

一些证明,推荐复制入atom观看 首先我们考虑这个T(n)是什么,我们可以列出递归式: (definition:T) T(0) = 1 T(1) = 10 T(n) = 10*T(n-1) + T(n-2) 这个数列与Fibonacci数列有着类似的性质,我们考虑如何计算它某两项的gcd.对于Fibonacci数列我们有: [此下为Fibonacci数列的性质,关系不大]{ (definition:F) F(0) = 0 F(1) = 1 F(n) = F(n-1) + F(n-2) (prop…

树有很多种形态,给定结点个数,求生成不同形态二叉树的个数,显然要用到Catalan数列. 那如果给定一个图(Graph)\(G=(V,E)\),要求其最小生成树G',最好的方法莫过于Prim或Kruskal了. 上图就是一种求最小生成树的方法. 可要求图G中不同生成树的总个数呢? 这里要用到Kirchhoff's theoreom,一个神奇的定理. 这里只做简单的介绍,并不给出严格的证明. 详细内容请参见Wikipedia::Kirchhoff's theorem 以及芜湖一中 周冬さん的生成树…

时间复杂度(渐近时间复杂度的严格定义,NP问题,时间复杂度的分析方法,主定理)排序算法(平方排序算法的应用,Shell排序,快速排序,归并排序,时间复杂度下界,三种线性时间排序,外部排序)数论(整除,集合论,关系,素数,进位制,辗转相除,扩展的辗转相除,同余运算,解线性同余方程,中国剩余定理)指针(链表,搜索判重,邻接表,开散列,二叉树的表示,多叉树的表示)按位运算(and,or,xor,shl,shr,一些应用)图论(图论模型的建立,平面图,欧拉公式与五色定理,求强连通分量,求割点和桥,欧拉回…

1.        资源问题1-----机器分配问题F[I,j]:=max(f[i-1,k]+w[i,j-k]) 2.        资源问题2------01背包问题F[I,j]:=max(f[i-1,j-v]+w,f[i-1,j]); 3.        线性动态规划1-----朴素最长非降子序列F:=max{f[j]+1} 4.        剖分问题1-----石子合并F[i,j]:=min(f[i,k]+f[k+1,j]+sum[i,j]); 5.        剖分问题2-----多…