4830: [Hnoi2017]抛硬币 题意:A投a次硬币,B投b次硬币,a比b正面朝上次数多的方案数,模\(10^k\). \(b \le a \le b+10000 \le 10^{15}, k \le 9\) 几乎一下午和一晚上杠这道题...中间各种翻<具体数学>各种卡常 有两种做法,这里只说我认为简单的一种. 题目就是要求 \[ \sum_{i=0}^a \sum_{j=0}^b [i>j] \binom{a}{i} \binom{b}{j} \] 化一化得到 \[ \sum_{…

Description 小A和小B是一对好朋友,他们经常一起愉快的玩耍.最近小B沉迷于**师手游,天天刷本,根本无心搞学习.但是 已经入坑了几个月,却一次都没有抽到SSR,让他非常怀疑人生.勤勉的小A为了劝说小B早日脱坑,认真学习,决 定以抛硬币的形式让小B明白他是一个彻彻底底的非洲人,从而对这个游戏绝望.两个人同时抛b次硬币,如果小A 的正面朝上的次数大于小B正面朝上的次数,则小A获胜.但事实上,小A也曾经沉迷过拉拉游戏,而且他一次UR也 没有抽到过,所以他对于自己的运气也没有太大把握.所以他…

Description 小A和小B是一对好朋友,他们经常一起愉快的玩耍.最近小B沉迷于**师手游,天天刷本,根本无心搞学习.但是已经入坑了几个月,却一次都没有抽到SSR,让他非常怀疑人生.勤勉的小A为了劝说小B早日脱坑,认真学习,决定以抛硬币的形式让小B明白他是一个彻彻底底的非洲人,从而对这个游戏绝望.两个人同时抛b次硬币,如果小A的正面朝上的次数大于小B正面朝上的次数,则小A获胜.但事实上,小A也曾经沉迷过拉拉游戏,而且他一次UR也没有抽到过,所以他对于自己的运气也没有太大把握.所以他决定在小…

[题解]幼儿园篮球题(NTT+范德蒙德卷积+斯特林数) 题目就是要我们求一个式子(听说叫做超几何分布?好牛逼的名字啊) \[ \sum_{i=1}^{S}\dfrac 1 {N \choose n_i}\sum_{j=0}^{k_i}{m_i \choose j}{n_i-m_i\choose k_i- j}j^L \] 实际上$S $很小,所以本质上就是求 \[ \sum_{j=0}^{k_i}{m_i \choose j}{n_i-m_i\choose k_i- j}j^L \] 为了方便我…

[BZOJ4830][HNOI2017]抛硬币(组合计数,拓展卢卡斯定理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 暴力是啥? 枚举\(A\)的次数和\(B\)的次数,然后直接组合数算就好了:\(\displaystyle \sum_{i=0}^a{a\choose i}\sum_{j=0}^{i-1}{b\choose j}\). 完美\(TLE\). 先考虑特殊点的情况,如果\(a=b\),那么显然两者输赢的情况反过来是一一对应的,所以答案就是总情况减去平局的情况除二,而总方法就是\(\displays…

传送门 我是真的弱,看题解都写了半天,,, 这题答案应该是\(\sum_{i=1}^{a}\binom{a}{i}\sum_{j=0}^{min(b,i-1)}\binom{b}{j}\) 上面那个式子无法化简qwq 把A和b的抛硬币情况连在一起,记成一个01串,那么如果某个串代表B获胜,那么这个串的反串就能代表A获胜 如果\(a=b\),那么答案还要减去平局情况,即\[\frac{2^{a+b}-\binom{a+b}{a}}{2}\] 如果\(a>b\),那么有种特殊情况是代表A获胜的某个串…

可以分别枚举两人正面朝上的次数来统计答案,所求即为 \[\sum_{i=0}^{a}\sum_{j=0}^{b} \binom{a}{i} \binom{b}{j} [i>j] \] 将\(i\)替换为\(i+j\)来保证\(i>j\) \[ \begin{aligned} &\sum_{i=0}^{a}\sum_{j=0}^{b} \binom{a}{i} \binom{b}{j} [i>j] \\ =&\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=0}^{a-i} \b…

传送门 这个题的暴力比较好想--然后用一些组合的知识就可以变成正解了. 首先我们考虑a=b的情况.我们把扔出来的硬币看成是一个01序列,那么对于一个b获胜的序列,他在每一位都按位异或1之后必然是一个a获胜的序列,那么a获胜的情况就是总情况减去平局,再除以二.总情况显然是\(2^{a+b}\),平局的我们能想到是\(\sum_{i=0}^a (C_a^i)^2\),这个怎么快速计算--?一会会说到. 之后考虑a > b的情况.现在任何一个a平局或者告负的局面,只要按位异或1之后都会转化为a胜的局面…

题目链接:https://codeforces.com/problemset/problem/785/D 题解: 首先很好想的,如果我们预处理出每个 "(" 的左边还有 $x$ 个 "(",以及右边有 $y$ 个 ")",那么就有式子如下: ① 若 $x+1 \le y$:$C_{x}^{0} C_{y}^{1} + C_{x}^{1} C_{y}^{2} + \cdots + C_{x}^{x} C_{y}^{x+1} = \sum_{i=0}…

浅谈范德蒙德(Vandermonde)方阵的逆矩阵与拉格朗日(Lagrange)插值的关系以及快速傅里叶变换(FFT)中IDFT的原理 标签: 行列式 矩阵 线性代数 FFT 拉格朗日插值 只要稍微看过一点线性代数的应该都知道范德蒙德行列式. \[V(x_0,x_1,\cdots ,x_{n-1})=\begin{bmatrix} {1}&{1}&{\cdots}&{1}\\ {x_{0}}&{x_{1}}&{\cdots}&{x_{n-1}}\\ {x_{…