# 欧几里得算法 现在,我们来学习一下欧几里得算法. 欧几里得算法又称辗转相除法,主要用于算求两个正数之间的最大公约数.对于最大公约数这个名称,其英文名称为(Greatest Common Divisor),故下面就用 gcd 来表示最大公约数的代称. 百度百科上定义:用较大数除以较小数,再用出现的余数(第一余数)去除除数,再用出现的余数(第二余数)去除第一余数,如此反复,直到最后余数是0为止.如果是求两个数的最大公约数,那么最后的除数就是这两个数的最大公约数. 附上代码: ll gcd(ll…

写诗或者写程序的时候,我们经常要跟欧几里得算法打交道.然而有没要考虑到为什么欧几里得算法是有效且高效的,一些偏激(好吧,请允许我用这个带有浓重个人情感色彩的词汇)的计算机科学家认为,除非程序的正确性在数学上得到了完全严格的证实,否则我们不能认为程序是正确的.既然存在即合理,因此下面我就详细得解说一下欧几里得算法,它为什么是正确的算法(算法过程就不给出了,有了思想,无论是迭代还是循环实现应该都不成问题),为什么有那么好的时间复杂性. 首先还是证明上述命题:注意到证明了该命题就证明了欧几里得算法的正…

一.GCD的基本使用 <1>GCD简介 什么是GCD 全称是Grand Central Dispatch,可译为“牛逼的中枢调度器” 纯C语言,提供了非常多强大的函数   GCD的优势 GCD是苹果公司为多核的并行运算提出的解决方案 GCD会自动利用更多的CPU内核(比如双核.四核) GCD会自动管理线程的生命周期(创建线程.调度任务.销毁线程) 程序员只需要告诉GCD想要执行什么任务,不需要编写任何线程管理代码 <2>GCD的使用 GCD的使用就2个步骤 定制任务 确定想做的事情…

题意:给你n(n<=100000)个正整数,求一个连续子序列使序列的所有元素的最大公约数与个数乘积最大 题解:我们知道一个原理就是对于n+1个数与n个数的最大公约数要么相等,要么减小并且减小至少一半(至少少了一个因子) 因此所有子串gcd的总种类数最多只有n*log(a(数字大小))个 我们枚举每个点计算以这个点为结束点的所有后缀,利用dp的思想通过前一次计算的最多log(a)个gcd计算出此时也是最多log(a')个gcd import java.util.Scanner; public cl…

gcd及扩展gcd可以用来求两个数的最大公因数,扩展gcd甚至可以用来求一次不定方程ax+by=c的解   辗转相除法与gcd 假设有两个数a与b,现在要求a与b的最大公因数,我们可以设 a=b*q+p 如果a是与b的最大公约数是gcd(a,b),那么b与p的最大公约数也是gcd(a,b) 即 gcd(a,b)=gcd(b,p)=gcd(b,a%b),然后我们令a=b,b=a%b,然后再进行以上步骤 以此类推,a与b的值会越来越小,直到某一时刻a变成了b的倍数,使得a%b=0,但是后来赋值使得a…

传送门 •题意 给出两个正整数 a,b: 求解 k ,使得 LCM(a+k,b+k) 最小,如果有多个 k 使得 LCM() 最小,输出最小的k: •思路 时隔很久,又重新做这个题 温故果然可以知新❤ 重要知识点 GCD(a,b)=GCD(a,b-a)=GCD(b,b-a) (b>a) 证明: 设GCD(a,b)=c 则a%c=0,b%c=0,(b-a)%c=0 所以GCD(a,b-a)=c 得GCD(a,b)=GCD(a,b-a) gcd(a+k,b-a)肯定是(b-a)的因子 所以gcd(a…

\[设c=gcd(a,b),那么a可以表示为mc,b可以表示为nc的形式.然后令a=kb+r,那么我们就\\ 只需要证明gcd(b,r)=c即可.{\because}r=a-kb=mc-knc,{\therefore}gcd(b,r)=gcd(nc,mc-knc)\\ =gcd(nc,(m-kn)c),所以我们只需要证gcd(n,m-kn)=1即可.\\ 设n=xd,m-kn=yd,那么m=kn+yd=kxd+yd,进而a=(kx+y)cd,b=xcd\\ ,于是gcd(a,b)就可以表示为gc…

/** 题目:Solve Equation 链接:http://acm.hnust.edu.cn/JudgeOnline/problem.php?id=1643 //最终来源neu oj 2014新生选拔赛题 题意:给定两个数的和以及他们的最小公倍数,求这两个数. 思路: x+y=A lcm(x,y)=B => x*y/gcd(x,y)=B 要把这两个公式联立,那么必须消掉gcd: 设:d = gcd(x,y), x = kx*d, y = ky*d; kx与ky互质: x+y=A => d(…

题目链接 题意 现有\[x+y=a\\lcm(x,y)=b\]找出满足条件的正整数\(x,y\). \(a\leq 2e5,b\leq 1e9,数据组数12W\). 思路 结论 \(gcd(x,y)=gcd((x+y),lcm(x,y))\) 证明 先证\(gcd(x,y)|gcd((x+y),lcm(x,y))\) 不妨设\(gcd(x,y)=k\),则有\(k\mid x,k\mid y\),则有\(k\mid (x+y)\) -① 又\(k\mid x,x\mid lcm(x,y)\),所…

// // TWFXViewController.h // Demo_GCD // // Created by Lion User on 12-12-11. // Copyright (c) 2012年 Lion User. All rights reserved. // #import <UIKit/UIKit.h> @interface TWFXViewController : UIViewController @property (retain, nonatomic) IBOutlet…