三模数NTT模板

求两个多项式的卷积对任意数p取模两个好记的FNT模数: 5*2^25+1 7*2^26+1 原根都为3 //Achen #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdlib> #include<vector> #include<cstdio> #include<queue> #include<cmath> #incl…

【模板篇】NTT和三模数NTT

之前写过FFT的笔记. 我们知道FFT是在复数域上进行的变换. 而且经过数学家的证明, DFT是复数域上唯一满足循环卷积性质的变换. 而我们在OI中, 经常遇到对xxxx取模的题目, 这就启发我们可不可以在模运算的意义下找一个这样的变换. 然后我们发现有个神奇的东西, 原根$g$, 这东西在模意义下相当于单位复根$-e^{\frac{2\pi i}{n}}$. 所以我们预处理一下$g$的幂和逆元, 然后改一下fft的代码就出现了快速数论变换ntt 懒得写了直接上代码: void g…

洛谷.4245.[模板]任意模数NTT(MTT/三模数NTT)

题目链接三模数$NTT$: 就是多模数$NTT$最后$CRT$一下...下面两篇讲的都挺明白的. https://blog.csdn.net/kscla/article/details/79547242 https://blog.csdn.net/zhouyuheng2003/article/details/85561887 模数不是$NTT$模数,考虑用多个$NTT$模数分别卷积,最后$CRT$合并(由中国剩余定理,同余方程组在模$M=\prod m_i$的情况下…

洛谷 4245 【模板】任意模数NTT——三模数NTT / 拆系数FFT

题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4245 三模数NTT: 大概是用3个模数分别做一遍,用中国剩余定理合并. 前两个合并起来变成一个 long long 的模数,再要和第三个合并的话就爆 long long ,所以可以用一种让两个模数的乘积不出现的方法:https://blog.csdn.net/qq_35950004/article/details/79477797 x*m1+a1 = -y*m2 + a2 <==> x*m1+y*m2…

洛谷 P4245 [模板]任意模数NTT —— 三模数NTT / 拆系数FFT(MTT)

题目:https://www.luogu.org/problemnew/show/P4245 用三模数NTT做,需要注意时间和细节: 注意各种地方要取模!传入 upt() 里面的数一定要不超过2倍 mod! 乘法会爆 long long 时用快速乘! 两次合并的模数,第一次是 (ll) p1*p2,第二次直接对题目的模数取模即可! 注意局部开 (ll)! 合并时用到的逆元每次都一样,所以要先处理好而不是现场快速幂算!! 然而为什么时间还是 Narh 的两倍! 一晚上的心血... 代码如下: #i…

洛谷P4245 【模板】MTT(任意模数NTT)

题目背景模板题,无背景题目描述给定 22 个多项式 F(x), G(x)F(x),G(x) ,请求出 F(x) * G(x)F(x)∗G(x) . 系数对 pp 取模,且不保证 pp 可以分解成 p = a \cdot 2^k + 1p=a⋅2k+1 之形式. 输入输出格式输入格式: 输入共 33 行.第一行 33 个整数 n, m, pn,m,p ,分别表示 F(x), G(x)F(x),G(x) 的次数以及模数 pp .第二行为 n+1n+1 个整数, 第 ii 个整数 a_iai…

Luogu 4245 【模板】任意模数NTT

这个题还有一些其他的做法,以后再补,先记一下三模数$NTT$的方法. 发现这个题不取模最大的答案不会超过$10^5 \times 10^9 \times 10^9 = 10^{23}$,也就是说我们可以取三个满足$NTT$性质的模数先算然后再合并起来. 比如三个模数可以分别取$998244353, 1004535809, 469762049$. 那么我们现在要做的就是合并三个同余方程: $$x \equiv a_1(\mod P_1)$$ $$x \equiv a_2(\mod P_2)$$ $…

【洛谷P4245】【模板】任意模数NTT

三模数 NTT,感觉不是很难写 $?$ 代码借鉴的 https://www.cnblogs.com/Mychael/p/9297652.html code: #include <bits/stdc++.h> #define SIZE 400005 #define ll long long #define setIO(s) freopen(s".in","r",stdin) using namespace std; inline ll qpow(ll x,…

MTT：任意模数NTT

MTT:任意模数NTT 概述有时我们用FFT处理的数据很大,而模数可以分解为$a\cdot 2^k+1$的形式.次数用FFT精度不够,用NTT又找不到足够大的模数,于是MTT就应运而生了. MTT没有模数的限制,比NTT更加自由,应用广泛,可以用于任意模数或很大的数. MTT MTT是基于NTT的,其思想很简单,就是做多次NTT,每次使用不同的素数,然后使用CRT合并解,在合并的过程中模最终模数,或是对于无模数的情况使用高精度. 做NTT的次数取决于最大可能答案的大小,所用的所有素数之积必…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT)

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 目录再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 写在前面一些约定循环卷积 DFT卷积的本质 Bluestein's Algorithm 例题分治FFT 例题 FFT的弱常数优化复杂算式中减少FFT次数例题利用循环卷积小范围暴力例题快速幂乘法次数的优化 FFT的强常数优化 DF…

[洛谷P4245]【模板】任意模数NTT

题目大意:给你两个多项式$f(x)$和$g(x)$以及一个模数$p(p\leqslant10^9)$,求$f*g\pmod p$ 题解:任意模数$NTT$,最大的数为$p^2\times\max\{n,m\}\leqslant10^{23}$,所以一般选$3$个模数即可,求出这三个模数下的答案,然后中国剩余定理即可. 假设这一位的答案是$x$,三个模数分别为$A,B,C$,那么: $$x\equiv x_1\pmod{A}\\x\equiv x_2\pmod{B}\\x\equiv x_3\pm…

【知识总结】多项式全家桶（三）（任意模数NTT）

经过两个月的咕咕,"多项式全家桶" 系列终于迎来了第三期--(雾) 上一篇:[知识总结]多项式全家桶(二)(ln和exp) 先膜拜(伏地膜)大恐龙的博客:任意模数 NTT (在页面右侧面板 "您想嘴谁" 中选择 "大恐龙" 就可以在页面左下角戳她哦) 首先务必先学会 NTT (如果不会,请看多项式全家桶(一)),并充分理解中国剩余定理-- 之前提到了,普通 NTT 的模数必须是一个质数,且这个质数中必须有一个足够大的 $2$ 的幂作为因子.然…

【模板】任意模数NTT

题目描述: luogu 题解: 用$fft$水过(什么$ntt$我不知道). 众所周知,$fft$精度低,$ntt$处理范围小. 所以就有了任意模数ntt神奇$fft$! 意思是这样的.比如我要算$F*G$,我可以把这两个多项式各分成两个多项式,一个表示$F_x/M$,一个表示$F_x$%$M$($M$是自己设定的阈值). 比如说$F=a*M+b,G=c*M+d$,那么$F*G=(a*M+b)*(c*M+d)=a*c*M^2+a*d*M+b*c*M+b*d$. 然后?就水过了啊…… 顺便提一下,…

[题解] Luogu P4245 [模板]任意模数NTT

三模NTT 不会... 都0202年了,还有人写三模NTT啊... 讲一个好写点的做法吧: 首先取一个阀值$w$,然后把多项式的每个系数写成$aw + c(c < w)$的形式,换句话说把多项式$f(x)$写成两个多项式相加的形式: \[ f(x) = wf_0(x) + f_1(x) \] 这样在这道题中取$W = 2^{15}$就可以避免爆long long了. 乘起来的话就是 \[ f \cdot g = (w f_0 + f_1)(wg_0 + g_1) = (f_0 g…

任意模数NTT

任意模数$NTT$ 众所周知,为了满足单位根的性质,$NTT$需要质数模数,而且需要能写成$a2^{k} + r$且$2^k \ge n$ 比较常用的有$998244353,1004535809,469762049$,这三个原根都是$3$ 如果要任意模数怎么办? $n$次多项式在模$m$下乘积,最终系数一定不会大于$nm^2$ 所以我们找三个模数分别做$NTT$再合并一下就好辣但这样的合并结果会爆$long long$呢需要用高精吗? 可以使用一些…

任意模数NTT和FFT的玄学优化学习笔记

本来一直都是写$7$次的$MTT$的--然后被$shadowice$巨巨调教了一通之后只好去学一下$4$次的了-- 简单来说就是我们现在需要处理一类模数不为$NTT$模数的情况这里是板子三模$NTT$ 跑的很慢而且我也不会,这里就不说了拆系数$FFT$ 两个多项式$P(z),Q(z)$,我们把它们的系数拆成 \[A(z)=\sum_{i=0}^\infty (P_i>>15)z^i,B(z)=\sum_{i=0}^\infty (P_i\&3276…

C# 处理Word自动生成报告三、设计模板

C# 处理Word自动生成报告一.概述 C# 处理Word自动生成报告二.数据源例子 C# 处理Word自动生成报告三.设计模板 C# 处理Word自动生成报告四.程序处理既然是模板就少不了各种标记和配置. 这里主要用到了word的书签功能. 打开word按ctrl+shift+F5, 打开书签功能如下图如果所示, 可以选中word中的一个区域然后按ctrl+shift+F5, 对此部分添加一个书签是否理解为这样是为这部分区域添加了指针? 根据图中的操作就可以明白了, 可以在对某…

BZOJ1042 HAOI2008硬币购物（任意模数NTT+多项式求逆+生成函数/容斥原理+动态规划）

第一眼生成函数.四个等比数列形式的多项式相乘,可以化成四个分式.其中分母部分是固定的,可以多项式求逆预处理出来.而分子部分由于项数很少,询问时2^4算一下贡献就好了.这个思路比较直观.只是常数巨大,以及需要敲一发类似任意模数ntt的东西来避免爆精度.成功以这种做法拿下luogu倒数rank1,至于bzoj不指望能过了. #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> #include<cstdlib>…

Vue基础系列（三）——Vue模板中的数据绑定语法

写在前面的话: 文章是个人学习过程中的总结,为方便以后回头在学习. 文章中会参考官方文档和其他的一些文章,示例均为亲自编写和实践,若有写的不对的地方欢迎大家和我一起交流. VUE基础系列目录 <VUE基础系列(一)——VUE入坑第一篇> <VUE基础系列(二)——VUE中的methods属性> <VUE基础系列(三)——VUE模板中的数据绑定语法> 一.前言前面<VUE基础系列(一)——VUE入坑第一篇>中我们讲过使用vue双花括号插值法将data中的数据…

洛谷4245：【模板】任意模数NTT——题解

https://www.luogu.org/problemnew/show/P4245 给两个多项式,求其乘积,每个系数对p取模. 参考: 代码与部分理解参考https://www.luogu.org/blog/yhzq/solution-p4245 NTT常用模数https://blog.csdn.net/hnust_xx/article/details/76572828 一些有关NTT讲解的东西. ———————————— NTT作用和DFT相同,只是NTT可以取模,且精度误差小. 我们的唯…