题目背景 题目背景与题目描述无关.签到愉快. 「冷」 他半靠在床沿,一缕感伤在透亮的眼眸间荡漾. 冷见惆怅而四散逃去.经历嘈杂喧嚣,感官早已麻木.冷又见空洞而乘隙而入.从里向外,这不是感官的范畴. 他暗笑,笑自己多情. 「暖」 正恍惚,忽见她闪进门帘. 慢步,靠近,站定,俯身.一抹浅笑挟带着闪闪泪光刻印在时光里. 沉醉于这美好,四周空气开始有了温度,刚刚好的温度. 「坠」 起身,伸出手,他想轻抚过那朝思暮想的面颊. 但他做不到,他发现他在坠落,没有尽头. 深渊是主犯,不断向下延伸,贪婪地吞噬这尘…

记录全思路过程和正解分析.全思路过程很 navie,不过很下饭不是嘛.会持续更新的(应该). 「CF1521E」Nastia and a Beautiful Matrix Thought. 要把所有数容纳下就一定至少有,\(\sum \limits _{i = 1 \to k} a_i < n^2\).但这个限制太弱了可恶. 考虑一种构造,一排全放数字,一排隔一个放一个.感觉可以做到最优. 接下来考虑普适化的细节,即需要满足对角线数组不同. 全放数字的就直接往上怼,不够换下一个数字,顺序填即可.…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定一棵包含 \(n\) 个点,有点权和边权的树.设当前位置 \(s\)(初始时 \(s=1\)),每次在 \(n\) 个结点内随机选择目标结点 \(t\),付出「\(s\) 到 \(t\) 的简单路径上的边权之和」\(\times\)「\(t\) 的点权」的代价,标记(可以重复标记)点 \(t\) 并把 \(s\) 置为 \(t\).求每个点至少被标记一次时(其中 \(1\) 号结点一开始就被标记)代价之和的期望.答案对…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定你初始拥有的钱数 \(C\) 以及 \(N\) 台机器的属性,第 \(i\) 台有属性 \((d_i,p_i,r_i,g_i)\),分别是出售时间.售价.转卖价.单日工作收益.机器在买入或转卖当天不提供收益,且你同一时刻最多拥有一台机器,在 \((D+1)\) 天时必须转卖拥有的机器.求第 \((D+1)\) 天你拥有的最大钱数.\(n\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   比较自然的想法…

\(\mathcal{Description}\)   OurOJ.   给定序列 \(\{a_n\}\) 和一个二元运算 \(\operatorname{op}\in\{\operatorname{and},\operatorname{or},\operatorname{xor}\}\),对于 \(i\in[2,n]\),求出 \(\max_{j\in[1,i)}\{a_i\operatorname{op} a_j\}\) 以及 \(|\arg\max_{j\in[1,i)}\{a_i\ope…

\(\mathcal{Description}\)   link.   有一个 \(n\) 个结点的无向图,给定 \(n-1\) 组边集,求从每组边集选出恰一条边最终构成树的方案树.对 \(10^9+7\) 取模.   \(2\le n\le17\),边集大小 \(0\le m_i\le\frac{n(n-1)}2\). \(\mathcal{Solution}\)   \(n\) 很小,考虑容斥.枚举这 \(n-1\) 个边集的子集,将子集内的边集的边加入图,用矩阵树定理求出生成树个数,容斥一…

\(\mathcal{Description}\)   OurTeam & OurOJ.   给定一棵 \(n\) 个顶点的树,每个顶点标有字符 ( 或 ).将从 \(u\) 到 \(v\) 的简单有向路径上的字符串成括号序列,记其正则匹配的子串个数为 \(\operatorname{ans}(u,v)\).求: \[\sum_{u=1}^n\sum_{v=1}^n\operatorname{ans}(u,v)\bmod998244353 \]   \(n\le2\times10^5\). \(…

\(\mathcal{Description}\)   link.   给定一个捕食网络,对于每个物种,求其灭绝后有多少消费者失去所有食物来源.(一些名词与生物学的定义相同 w.)   原图结点数 \(n\le65534\),边数 \(m\le10^6\),图保证无有向环. \(\mathcal{Solution}\)   支配树板题.将原图反向建边,令一个"超级生产者"结点,指向所有生产者,然后求出该图的支配树.每个物种的答案就是其子树大小 \(-1\).   以下会讲解对于有向无环…

\(\mathcal{Description}\)   link.   给定带权简单无向图,求其最小生成树个数.   顶点数 \(n\le10^2\),边数 \(m\le10^3\),相同边权的边数不超过 \(10\). \(\mathcal{Solution}\)   先说一个引理:对于一个图的任意两棵最小生成树,其边权集合相等.   简单证明一下,设有两个最小生成树的边权集合 \(\{\dots,a,b,\dots\},\{\dots,c,d,\cdots\}\)(省略号处相等,不降排列).…

\(\mathcal{Description}\)   一段坐标轴 \([0,L]\),从 \(0\) 出发,每次可以 \(+a\) 或 \(-b\),但不能越出 \([0,L]\).求可达的整点数.   \(L\le10^{12}\),\(1\le a,b\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\) \(\mathcal{Case~1}\)   考场上玄学操作,天知道为什么兔子签到的姿势如此诡异.   显然先约 \(\gcd\).我们从 \(0\) 次开始枚举 \(-b\…

\(\mathcal{Description}\)   合并果子,初始果子的权值在 \(1\sim n\) 之间,权值为 \(i\) 的有 \(a_i\) 个.每次可以挑 \(x\in[L,R]\) 个果子合并成一个,代价为所挑果子权值之和.求合并所有果子的最少代价.\(T\) 组数据.   \(T\le10\),\(n,a_i\le10^5\),\(2\le L\le R\le\sum_{i=1}^na_i\). \(\mathcal{Solution}\)   把合并考虑成一棵树,树叉在 \…

  灼之花好评,条条生日快乐(假装现在 8.15)! \(\mathcal{Description}\)   给定一棵以 \(1\) 为根的树,第 \(i\) 个结点有颜色 \(c_i\) 和光亮值 \(l_i\),定义树的权值为: \[\sum_{\displaystyle u<v\land c_u=c_v\land\\\operatorname{LCA}(u,v)\not=u\land\operatorname{LCA}(u,v)\not=v}l_u\oplus l_v \]   现有 \(…

\(\mathcal{Description}\)   OurTeam.   给定一棵 \(n\) 个点的树形随机的带边权树,求所有含奇数条边的路径中位数之和.树形生成方式为随机取不连通两点连边直到全部连通.   \(n\le32000\). \(\mathcal{Solution}\)   考虑用中位数的标准姿势统计每条边的贡献--小于它的设为 \(-1\),大于它的设为 \(+1\),边权相等按编钦定大小关系.那么这条边的贡献就是路径两端权值加和为 \(0\) 的路径对数(显然每对路径连起来…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   求平面上 \(n\) 个圆的并的面积.   \(n\le50\),可能被圆覆盖的横纵坐标区域在 \([-10^4,10^4]\). \(\mathcal{Solution}\)   做了那么多计算几何之后写了这道不那么计算几何的计算几何题的题解.   若想直接处理面积,就需要处理圆的各种相交关系,但是仅计算在某个 \(x_0\) 处,被圆的并覆盖的线段长度是很好处理地:每次 \(\mathcal O(n\log n)\) 排…

\(\mathcal{Description}\)   OurOJ.   维护一列二元组 \((a,b)\),给定初始 \(n\) 个元素,接下来 \(m\) 次操作: 在某个位置插入一个二元组: 翻转一个区间: 区间 \(a\) 值加上一个数: 区间 \(a\) 值乘上一个数: 区间 \(a\) 值赋为一个数: 询问 \(\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^ra_j^3\bmod10086001\).   特别地,若区间操作指名类型为 \(1\),则需要将输入的左端点替换为输入区间内…

\(\mathcal{Description}\)   \(n\) 中卡牌,每种三张.对于一次 \(m\) 连抽,前 \(m-1\) 次抽到第 \(i\) 种的概率是 \(p_i\),第 \(m\) 次抽到第 \(i\) 种的概率是 \(q_i\).若抽到第 \(i\) 种,会等概率地得到三张卡牌中的一张.求得到所有 \(3n\) 张卡的期望 \(m\) 连抽次数.对 \(2000000011\) 取模.   \(n\le6\),\(m\le64\). \(\mathcal{Solution}\…

\(\mathcal{Description}\)   给定 \(n,m,p\),求序列 \(\{a_n\}\) 的数量,满足 \((\forall i\in[1,n])(a_i\in[1,m])\land(\forall i\in(1,n])(a_{i-1}\le a_i)\land\left(\sum_{i=1}^na_i10^{n-i}\bmod p=0\right)\),对 \(998244353\) 取模.   \(n\le10^{18}\),\(m\le50\),\(p\le200\…

\(\mathcal{Description}\)   Link.(完全一致)   给定 \(n,m,k\),对于两个长度为 \(k\) 的满足 \(\left(\sum_{i=0}^ka_i=n\right)\land\left(\sum_{i=1}^kb_i=m\right)\) 的正整数序列对 \(\{a_k\},\{b_k\}\),其权值为 \(\prod_{i=1}^k\min\{a_i,b_i\}\).求所有序列对的权值之和,对 \(998244353\) 取模.   \(n,m,k…

\(\mathcal{Description}\)   \(n\) 个点,第 \(i\) 个点能走向第 \(d_i\) 个点,但从一个点出发至多走 \(k\) 步.对于每个点,求有多少点能够走到它.   \(n\le5\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   显然这些点构成一片内向基环树森林.考虑每个点的贡献,若其向上走 \(k\) 步仍不能到环上,那一定只在树内对一条链贡献,树上差分一下.否则,该点会向到根的每个点贡献,并向环上一段连续的点贡献,后者维护一个…

\(\mathcal{Description}\)   有 \(n\) 个人掉进了深度为 \(h\) 的坑里,第 \(i\) 个人的肩高为 \(a_i\),臂长为 \(b_i\).设当前坑里人的集合为 \(S\),第 \(i\) 人能逃生,当且仅当 \(\sum_{j\in S}a_j+b_i\ge h\).求最多逃生人数.   \(n\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   考虑在最优情况下,相邻两个逃生的人,设其肩高臂长分别为 \((a,b),(p…

\(\mathcal{Description}\)   Link.(几乎一致)   给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的仙人掌和起点 \(s\),边长度均为 \(1\).令 \(d(u)\) 表示 \(u\) 到 \(s\) 的最短距离.对于任意一个结点的排列 \(\{p_1,p_2,\cdots,p_n\}\),记 \(t_i\) 满足 \(p_{t_i}=i\),称排列合法,当且仅当: \[(\forall(u,v)\in E)\left((d(u)<d(v)\rightarrow t…

\(\mathcal{Description}\)   给定 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向图,每条边形如 \((u,v,r)\),表示 \(u,v\) 之间有一条阻值为 \(r\Omega\) 的电阻.求 \(S\) 到 \(T\) 的等效电阻.   \(n\le100\),\(m\le\frac{n(n-1)}2\). \(\mathcal{Solution}\) 欧姆定律:通过一段电路 \(AB\) 两端的电流为 \(\frac{\varphi_A-\varphi_B}{R_{A…

\(\mathcal{Description}\)   Link(削弱版).   \(n\) 张纸叠在一起对折 \(k\) 次,然后从上到下为每层的正反两面写上数字,求把纸重新摊平后每张纸上的数字序列.   \(n\le10\),\(k\le19\). \(\mathcal{Solution}\)   模拟摊平操作,对于每一层维护一个双向链表(实际指针的方向并不重要,不要纠结两个叫 pre 的指针相互指的问题),每次把上一半的反向接到下一半即可.   复杂度 \(\mathcal O(n2^k)…

\(\mathcal{Description}\)   OurOJ.   给定一棵 \(n\) 个结点树,\(1\) 为根,每个 \(u\) 结点有容量 \(k_u\).\(m\) 次操作,每次操作 \((u,c)\),表示在 \(u\) 到根路径上的每个结点放一个颜色为 \(c\) 的小球,但若某一结点容量已满,则跳过该结点不放球.求所有操作完成后每个结点拥有小球的颜色种数.   \(n,m\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   优雅的离线算法.   首先,若…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   在一个 \(\mathbb R^2\) 的 \((0,0)\) 处有一颗棋子,对于参数 \(a,b\),若它当前坐标为 \((x,y)\),则它下一步可以走到 \((x\pm a,y\pm b)\) 和 \((x\pm b,y\pm a)\).令 \(p(s,t)\) 表示 \(a=s,b=t\) 时,棋子是否能走遍所有整点.求: \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^np(a,b) \]   答案自然溢出.  …

\(\mathcal{Description}\)   OurOJ.   给定坐标轴上的 \(2n+1\) 个坐标 \(x_1,x_2,\cdots,x_{2n+1}\),其中偶数下标的位置是一个小球,奇数下标的位置是一个球洞.每次操作随机选择一个小球,并随机让它向左或向右滚入临近的球洞,该球洞被填满,视作平地.求所有球进洞后,球滚动总距离的期望.对 \(998244353\) 取模.   \(n\le3000\). \(\mathcal{Solution}\)   显然,\(n\) 个球进洞的…

\(\mathcal{Description}\)   OurOJ.   给定 \(n\) 个点的一棵树,有 \(1,2,3\) 三种边权.一条简单有向路径 \((s,t)\) 合法,当且仅当走过一条权为 \(3\) 的边之后,只通过了权为 \(1\) 的边.\(m\) 次询问,每次询问给定 \(a,b,s,t\),表示将边 \((a,b)\) 的权 \(-1\)(若权已为 \(1\) 则不变),并询问 \(t\) 是否能走到 \(s\):有多少点能够走到 \(s\).   \(n,m\le 3…

\(\mathcal{Description}\)   给定排列 \(\{a_n\}\),求字典序第 \(K\) 大的合法排列 \(\{b_n\}\).称一个排列 \(\{p_n\}\) 合法,当且仅当依次将 \([1,m],[2,m+1],\cdots,[n-m+1,n]\) 内的 \(p\) 升序排列后,得到的排列为 \(\{a_n\}\) 相同.   \(n\le2 \times 10^6\),\(m\le 100\),\(K\le2 \times 10^{16}\) . \(\mathc…

Description 有 \(Q\) 个询问.每次给定一个正整数 \(n\),求它的所有因数的质因数个数的和. Solution 就讲中间的一个 Trick. 我们定义正整数 \(x\) 有 \(f(x)\) 个因数,且存在一函数 \(g(x) = \sum_{i | x} f^3(i)\),显然 \(g(x)\) 即 \(x\) 对应的答案. 那么,若 \(x = p^a\),则由因数个数定理可得: \(f(x) = a + 1\). 且其因数集合可表示为:\(\{p^0, p^1, ...…

题目   luogu. 题解   先 % 兔.同为兔子为什么小粉兔辣么强qwq. 本文大体跟随小粉兔的题解的思路,并为像我一样多项式超 poor 的读者作了很详细的解释.如果题解界面公式出现问题,可以尝试"在 Ta 的博客查看"w~   生成函数 + NTT.   首先,转化题意:求长度为 \(n\),元素属于 \([1,D]\) 且存在至少 \(m\) 对位置不重复的相同元素的整数序列个数.   不妨把元素的值形象化为颜色,设第 \(c\) 中颜色在某个序列中出现次数为 \(cnt_…