http://poj.org/problem?id=2409 (题目链接) 题意 一个n个珠子的项链,每个珠子可以被染成t种颜色.项链可以翻转和旋转,问不同的染色方案数. Solution Pólya定理. 旋转:如果逆时针旋转i颗珠子的间距,则珠子0,i,2i,······构成一个循环.这个循环有n/gcd(n,i)个元素.根据对称性,所有循环的长度相同,因此一共有gcd(n,i)个循环.这些置换的不动点总数为${\sum_{i=0}^{n-1}  t^{gcd(i,n)}}$种,其中t为颜色…

[POJ2409]Let it Bead 题意:用$m$种颜色去染$n$个点的环,如果两个环在旋转或翻转后是相同的,则称这两个环是同构的.求不同构的环的个数. $n,m$很小就是了. 题解:在旋转$i$次后,循环节的个数显然是$gcd(i,n)$. 如果考虑翻转,我们将点从$0$到$n-1$标号,令其先以0到圆心的连线为对称轴翻转,再旋转i次,则原来编号为x的会变成$n-x+i \mathrm{mod} n$,令$n-x+i=x \mathrm{mod} n$,则$2x=i$或$2x=n+i$.…

Polya定理 L=1/|G|*(m^c(p1)+m^c(p2)+...+m^c(pk)) G为置换群大小 m为颜色数量 c(pi)表示第i个置换的循环节数 如置换(123)(45)(6)其循环节数为3 ------------------------------------------------------------------------------------------- POJ1286&POJ2409 都是简单的处理串珠子的问题. 题目中隐藏着3种不同的置换类别. 1.旋转 注意不…

#include <iostream> #include <math.h> using namespace std; #define LL long long LL gcd(LL a, LL b) { return b ? gcd(b, a % b) : a; } LL polya(LL n) { LL ret = ; ; i < n; i++) ret += pow(, gcd(i, n)); //flip them... )//odd ret += n * pow(, n…

这两个题都是项链珠子的染色问题 也是polya定理的最基本和最经典的应用之一 题目大意: 用m种颜色染n个珠子构成的项链,问最终形成的等价类有多少种 项链是一个环.通过旋转或者镜像对称都可以得到置换 旋转可以旋转 i=[1,n]次..画图可以看出循环节有gcd(n,i)个 镜像对称的置换画个图也是很容易找的 然后通过polya定理就可以容易的求出等价类的种数了 2409就是这样一个裸题,以下为ac代码 #include <iostream> #include <stdio.h> #…

用n个颜色的珠子编项链,求有多少种情况 由N(G,C) = 所有f的稳定核的和/|G| m边形有m种旋转m种翻转 首先说旋转,有模线性方程可知每种旋转都有gcd(m,i)个循环节且每个循环节长度为n/gcd(m,i) 所以每个旋转的稳定核 = pow(n,gcd(m,i)) 翻转的循环节数可有观察得知 #include<algorithm> #include<string.h> #include<stdio.h> #include<cmath> #inclu…

                                                                  Let it Bead Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 65536K Total Submissions: 5397   Accepted: 3609 Description "Let it Bead" company is located upstairs at 700 Cannery Row in Monterey…

题目描述 用 $c$ 种颜色去染 $r$ 个点的环,如果两个环在旋转或翻转后是相同的,则称这两个环是同构的.求不同构的环的个数. $r·c\le 32$ . 题解 Polya定理 Burnside引理:一个置换群的等价类数目等于这个置换群中所有置换的不动点数目的平均值:Polya定理:设有限群G有 $m$ 个置换,第 $i$ 个置换有 $a_i$ 个循环,现在要将所有的点染成 $c$ 种颜色,那么染色后群G的等价类数目为:$L=\frac{c^{a_1}+c^{a_2}+…+c^{a_m}}m$…

题目大意:长度为n的项链,要染m种颜色,可以通过旋转或翻转到达的状态视为同一种,问有多少种染色方案. 学了一波polya定理,发现很好理解啊,其实就是burnside定理的扩展. burnside定理告诉我们不同染色方案数是每种置换的不变元素个数除以置换总数,而polya定理就是在这个基础上用公式计算出置换的不变元素个数.而且polya定理非常好理解,我们要让元素不变,所以对于每个循环节我们要染一样的颜色,有m种颜色,c(pk)个循环节,于是每种置换的不变元素个数就是m^c(pk). 对于这道题…

题目链接:http://poj.org/problem?id=2409 题意:输入 m, n 表示有 m 种颜色,要构造一个长度为 n 的手环,旋转和对称的只算一种,问能组成多少个不同的手环． 思路:polya 模板 详见:http://m.blog.csdn.net/thchuan2001/article/details/65653855 代码: #include <iostream> #include <math.h> using namespace std; int gcd(…