CRT & EXCRT 学习笔记

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CRT&EXCRT学习笔记

非扩展用于求解线性同余方程组 ,其中模数两两互质 . 先来看一看两个显然的定理: 1.若 x $\equiv$ 0 (mod p) 且 y $\equiv$ 0 (mod p) ,则有 x+y $\equiv$ 0 (mod p) 2.若 x $\equiv$ b (mod p) 且 y $\equiv$ 0 (mod p), 则有 x+y $\equiv$ b (mod p) (0$\leq $b<p) 则整个方程组可以写为 b1 \(\begin{bmatrix}1…

CRT & EXCRT 学习笔记

这玩意解决的是把同余方程组合并的问题. CRT的核心思想和拉格朗日插值差不多,就是构造一组$R_i$使得$\forall i,j(i \neq j) $ \[R_im_i = 1, R_im_j = 0 \] 有了思路后这玩意随便构造一下就出来了,式子里面出现了一些奇怪的逆元,所以要求模数互质现在考虑扩展CRT,模数不互质了本质思路是合并两个同余方程组发现同余条件等价于$x=k_1m_1+a_1=k_2m_2+a_2$ 怎么求出其中的一个$k$呢?其实也就是\(k_1m_1-k…

扩展中国剩余定理 exCRT 学习笔记

前言由于 $\{\mathrm{CRT}\}\subseteq\{\mathrm{exCRT}\}$,而且 CRT 又太抽象了,所以直接学 exCRT 了. 摘自 huyufeifei 博客这么抽象的东西我怎么可能会写前置技能 gcd/lcm exgcd 快速乘参考资料一篇未通过的洛谷日报 by AH_ljq 比较直观的 exCRT 学习笔记 by Milky Way 我之前写过的 exgcd 学习笔记 huyufeifei 对 CRT 的劝退用途用于求一个关于 $x$…

CRT和EXCRT学习笔记

蒟蒻maomao终于学会$CRT$啦!发一篇博客纪念一下(还有防止忘掉) $CRT$要解决的是这样一个问题: \[x≡a_1(mod m_1)\] \[x≡a_2(mod m_2)\] \[x≡a_3(mod m_3)\] \[...\] \[x≡a_k(mod m_k)\] 其中,$m$之间两两互质.这个问题有一个通解是$\sum a_i * M * t_i / m_i$,其中$t_i$代表方程$M * t_i / m_i ≡ 1$的最小正整数解. 为…

crt,excrt学习总结

$crt,Chinese\ Remainder\ Theorem$ 概述前置技能:同余基础性质,$exgcd$. $crt$,中国剩余定理.用于解决模数互质的线性同余方程组.大概长这样: \[ \begin{equation} \left\{ \begin{array}{lr} x\equiv a_1(mod\ m_1),\\ x\equiv a_2(mod\ m_2),\\ x\equiv a_3(mod\ m_3),\\ ......\\ x\equiv a_n(mod\ m_…

「中国剩余定理CRT」学习笔记

设正整数$m_1, m_2, ... , m_r$两两互素,对于同余方程组 $x ≡ a_1 \ (mod \ m_1)$ $x ≡ a_2 \ (mod \ m_2)$ $...$ $x ≡ a_r \ (mod \ m_r)$ 有整数解.设$P = \prod\limits_{k = 1}^{r} m_k$,则有 $$x ≡ a_1 M_1 M_1^{-1} + a_2 M_2 M_2^{-1} + ... + a_r M_r M_r^{-1}\ ( \ mod \ P)$$ 其中,$M_i…