题目链接 https://loj.ac/problem/6519 题解 这里给出的解法基于莫比乌斯反演.可以用群论计数的相关方法代替莫比乌斯反演,但两种方法的核心部分是一样的. 环计数的常见套路就是将环视为序列.我们统计所有不同的序列,那么对于最小循环节长度为 \(d\) 的序列对应的环就会被统计 \(d\) 次.因此假设最小循环节长度为 \(x\) 的合法序列数为 \(f(x)\),那么答案即为 \(\sum_\limits{d | {\rm gcd}(n, m)} \frac{1}{d}f(…

解题思路 考虑顺时针旋转 \(i\) 步得到的结果,根据Burnside引理,有 \[ Ans=\frac{\sum\limits_{i=0}^{n-1}C(i)}{n} \] \(C(i)\) 为旋转 \(i\) 步时不动点的数量. 实际上,旋转 \(i\) 步得到的是 \(\frac{n}{\gcd(n,i)}\) 个互不相干的环,每个环都是一个置换.不难发现,若一个方案在旋转 \(i\) 步的情况下为不动点,那么对于分割出来的每个小环,要么都为黑色,要么都为白色. 可以得到,对于 \(\g…

传送门 先不考虑循环同构的限制,那么对于一个满足条件的序列,如果它的循环节长度为\(d\),那么与它同构的环在答案中就会贡献\(d\)次. 所以如果设\(f_i\)表示循环节长度恰好为\(i\)的满足条件的序列个数(不考虑循环同构),那么最后的答案就是\(\sum \frac{f_i}{i}\). 所以问题变成了如何求\(f_i\).注意到\(f_i\)直接求不是很好求,考虑计算\(cnt(\frac{n}{d} , \frac{m}{d})\)表示珠子数为\(\frac{n}{d}\).黑色珠…

题意 题目链接 分析 sπo yyb 代码 #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long LL; #define go(u) for(int i = head[u], v = e[i].to; i; i=e[i].lst, v=e[i].to) #define rep(i, a, b) for(int i = a; i <= b; ++i) #define pb push_back #define re(x)…

考虑\(Burside\)引理,设\(f(x)\)表示置换拆成循环的个数为\(x\)时的答案,那么最终的结果就是\(\displaystyle \frac{\sum_{i=1}^n f(gcd(i,n))}{n}\),化简之后就是\(\displaystyle \frac{\sum_{d|n}f(d)\varphi(\frac{n}{d})}{n}\). 考虑如何计算不动点的数量,为了方便首先把\(n=m\)的情况直接处理掉,那么现在问题变成了,把环上的点编号,所有模\(d\)相同的点都必须是同…

传送门 表示这种\(Burnside\)定理之类的东西一用就忘qwq 题目要求不同染色方案数,因为变换方式只有旋转,所以只有\(n\)个置换,然后可能会出现某种方案有循环节,这个循环节长度显然要是\(\gcd(n,m)\)的因数,我们枚举循环节个数,直接套个polya然后可以得到答案为\(\frac{\sum_{d|\gcd(n,m)}f(\frac{n}{d},\frac{m}{d})\varphi(d)}{n}\),其中\(f(n,m)\)为有\(n\)个珠子,要把\(m\)个染色,并且满足…

题目链接: https://jzoj.net/senior/#main/show/6084 https://www.luogu.org/problemnew/show/P4916 题目: 题解: 注:本题解大部分摘自Imagine大佬提供在洛谷的题解 我们设$f(x)$表示最小循环节长度为x的合法序列数,那么有$ans=\sum_{d|gcd(n,m)}\frac{1}{d}f(d)$ 这是因为最小循环节为d的序列对应的环会被计算d次,比如 0101,最小循环节长度为 2(循环节为 01),其对…

题目链接 题意 求出 \(n\) 个珠子的在旋转同构意义下的手 环 个数,满足以下条件: 恰好有 \(m\) 个黑色珠子,其余为白色. 黑色珠子形成的最长连续段不能超过 \(k\) 个. Sol 考虑 \(Burnside\) 引理\(/Polya\) 定理 , 那么答案就是: \[\frac{\sum_{i=1}^n f(i)}{n}\] \(f(i)\) 表示在转 \(i\) 次的置换下所有合法染色方案中能够产生不动点的个数.这样我们就不用考虑旋转同构的问题了. 对于转 \(i\) 次的一个…

首先发现是经典的循环置换本质不同个数模型,根据 Burnside 引理: \[|X / G| = \frac{1}{|G|}\sum\limits_{g \in G} |X ^ g| \] 考虑第 \(i\) 个置换,整个置换分为了 \((n, i)\) 个大小为 \(\frac{n}{(n, i)}\) 的循环置换,不动点数量就是每个循环置换内颜色全部相等的方案. 那么只需要考虑每个循环置换的第一个位置,即 \(1 \sim (n, i)\) 这些位置填的方案,剩下的按周期补齐即可. 此时对于…

大米饼正式退役了,OI给我带来很多东西 我会的数学知识基本都在下面了 博客园的评论区问题如果我看到了应该是会尽力回答的．．． 这也是我作为一个OIer最后一次讲课的讲稿 20190731 多项式乘法 FFT 基本概念 1.多项式的两种表达(拉格朗日插值法) 多项式:\(A(x) = \sum_{i=0}^{n-1}a_ix^i\),最高项次数为\(n-1\),次数界为\(n\) \((a_0,\cdots,a_{n-1})\)为多项式的系数表达, \((x_0,y_0),\cdots,(x_{n…