题解 考虑一个点双(因为是简单环),如果没有环(两点一线),那么乘上K 如果有一个环,那么用polya定理,每个置换圈有gcd(i,n)个循环节 如果有两个及以上的环,任何一种置换都合法,那么只和每个颜色用了多少个有关,用插板法算组合数就是\(\binom{n + k - 1}{k - 1}\) 代码 #include <iostream> #include <cstdio> #include <vector> #include <algorithm> #i…

题目传送门 https://atcoder.jp/contests/arc062/tasks/arc062_d 题解 首先对整张图做 Tarjan 点双. 对于一个点双,如果是由一条边构成的,那么很显然就是 \(K\) 种方案. 如果是由一个单环构成,可以直接使用 Burnside 引理,假设这个环的长度为 \(l\),则这个单环的贡献就是 \(\frac{\sum \limits_{i=0}^{l-1} k^{\gcd(i, l)}}l\). 否则,这个点双就是一个复合环.经过一些手动模拟的尝…

[Arc062] Painting Graphs with AtCoDeer Description 给定一张N点M边的无向图,每条边要染一个编号在1到K的颜色.你可以对一张染色了的图进行若干次操作,每次操作形如,在图中选择一个简单环(即不经过相同点的环),并且将其颜色逆时针旋转一个单位.形式的说,假设你选择的环上的边按顺序依次是e1, e2, ... ,ek,那么经过一次操作后ei mod n+1的颜色会变成操作前ei的颜色.两种染色方案被认为是本质相同的,当且仅当其中一种染色后 的图经过若干…

LINK:Painting Graphs with AtCoDeer 看英文题面果然有点吃不消 一些细节会被忽略掉. 问每条边都要被染色 且一个环上边的颜色可以旋转. 用c种颜色有多少本质不同的方法. 注意这里的环指简单环 即不能经过一个节点两次. 考虑环套环的情况 手玩可以发现 可以将这种情况出现的所有边按顺序放置. 那么只和颜色出现的次数有关 隔板法做即可. 一个环 容易发现可以使用\(burnside\)引理. 割边 也很容易. 难点是求简单环. 不能求割边 因为边双不一定是简单环. 但是…

题意:一个无向图,用$k$种不同的颜色给每条边染色,问能染出多少种不同的图,如果两张图能通过循环移位环边使得颜色相同,那么这两张图被认为是相同的 数学太差伤不起啊...补了一下Burnside定理的证明,这里写一些类似笔记的东西... 置换$\left(\begin{matrix}1\cdots n\\i_1\cdots i_n\end{matrix}\right)$有合成运算$\circ$,满足结合律,有单位元$\iota$,存在唯一逆元满足$f\circ f^{-1}=\iota$,所有$n…

Description 给定一张N点M边的无向图,每条边要染一个编号在1到K的颜色. 你可以对一张染色了的图进行若干次操作,每次操作形如,在图中选择一个简单环(即不经过相同点的环),并且将其颜色逆时针旋转一个单位. 形式的说,假设你选择的环上的边按顺序依次是e1, e2, ... ,ek,那么经过一次操作后ei mod n+1的颜色会变成操作前ei的颜色. 两种染色方案被认为是本质相同的,当且仅当其中一种染色后的图经过若干次操作后可以变成另一种染色后的图. 问有多少本质不同的染色方案,输出对10…

题目分析: 如果一个双连通分量是简单环,那么用polya原理计数循环移位即可. 如果一个双连通分量不是简单环,那么它必然可以两两互换,不信你可以证明一下相邻的可以互换. 如果一条边是桥,那么直接乘以k就行了. 代码: #include<bits/stdc++.h> using namespace std; ; ; int n,m,k; vector <int> g[maxn]; int fa[maxn],arr[maxn],dfn[maxn],bccnum,low[maxn],cl…

似乎好久都没写博客了....赶快来补一篇 题意 给你一个 \(n\) 个点 , 没有重边和自环的图 . 有 \(m\) 条边 , 每条边可以染 \(1 \to k\) 中的一种颜色 . 对于任意一个简单环 , 可以将它的边的颜色进行旋转任意位 . 询问本质不同的染色方案数个数 . 数据范围 \(1\le n \le 50, 1 \le m \le 100,1 \le k \le 100\\\) 题解 将边 (或者说是很多条边) 分为 \(3\) 种类型 : 不属于任何一个简单环 , 它的贡献为…

传送门 一道思维题. 如果没有环那么对答案有k的贡献. 如果恰为一个环,可以用polya求贡献. 如果是一个有多个环重叠的双联通的话,直接转化为组合数问题(可以证明只要每种颜色被选取的次数相同一定可以在进行若干次交换之后变成一样的),相当于选一个值域在[1,k][1,k][1,k]中的单调不下降子序列的个数. 这个跟bzoj4403求法是相同的. 对于序列中的每一个元素的值加上它自己的下标就转化成了单调上升子序列的个数,有(edgecnt+k−1k−1)\binom {edge_{cnt}+k-…

求出点双后缩点,对于点双之间,显然不存在简单环,即每一个简单环一定在一个点双内部,换言之即每一个点双可以独立的考虑,然后将结果相乘 (对于点双之间的边任意染色,即若有$s$条边,还会有$k^{s}$的贡献) 对点双分类讨论(假设其有$n$个节点,$m$条边): 1.$n=2$且$m=1$(也就是两点一边),贡献为$k$ 2.$n=m$(一个环),根据polya定理,贡献即$\frac{\sum_{i=0}^{n-1}k^{\gcd(n,i)}}{n}$ 3.$n<m$,则任意两边的颜色都可以单独…