Given a positive integer, your job is writing a program to determine whether it is a prime number or not. Input There are several tests. Each test consists of a positive integer n(no more than 2^31) on a single line. Input is terminated by end of fil…

1. 为什么需要素性测试? 我们其实已经知道有一些判断素数的方法,比如: 遍历测试:待测试数n与2,3,...√n做除法判断余数是否为零,如果没有任何一个数可以整除n,则说明n为素数 Wilson定理:对于给定的正整数n,n是素数的充要条件为,则可以通过判断这个方程是否成立来判断n是否为素数 上面的方法都可以确定的判断出一个数是否为素数,但问题在于对于大整数,这两个算法都需要很大计算量和时间,能不能有一个更快速的判定算法呢? 答案是当前还没有一个更高效且能准确判定素数的方法.但借助随机算法和数论…

ll random(ll n) { return (ll)((double)rand()/RAND_MAX*n + 0.5); } ll pow_mod(ll a,ll p,ll n) { ) ; ll ans = pow_mod(a,p/,n); ans = ans*ans%n; ) ans = ans*a%n; return ans; } bool Witness(ll a,ll n) { ll m = n-; ; )) { j++; m >>= ; } ll x = pow_mod(a,…

之前一直对于这个神奇的素性判定方法感到痴迷而又没有时间去了解.借着学习<信息安全数学基础>将素性这一判定方法学习一遍. 首先证明一下费马小定理. 若p为素数,且gcd(a, p)=1, 则有 a^(p-1) = 1 (mod p) 基于以下定理 若(a, p)=1,{x| (x, p)=1}为模p下的一个完全剩余系,则{ax| (x, p)=1}也为模p下的一个完全剩余系. 又{0, 1, 2, ... p-1}为模p下一个剩余系   因此有, {a*0, a*1, a*2, ... a*(p…

额,我们今天来讲一讲Miller-Rabin素性测试算法. 读者:怎么又是随机算法!!!(⊙o⊙)… [好了,言归正传] [费马小定理] 费马小定理只是个必要条件,符合费马小定理而非素数的数叫做Carmichael Carmichael数是非常少的. 在1~100000000范围内的整数中,只有255个Carmichael数. 为此又有二次探测定理,以确保该数为素数. 这就构成了Miller-Rabin的基本原理 ╰(￣▽￣)╭ [二次探测定理] 二次探测定理 如果p是一个素数,0<x<p,则…

题意: 给你一个数n(n <= 2^54),判断n是不是素数,如果是输出Prime,否则输出n最小的素因子 解题思路: 自然数素性测试可以看看Matrix67的  素数与素性测试 素因子分解利用的是Pollard rho因数分解,可以参考 Pollard rho因数分解 存个代码~ /* ********************************************** Author : JayYe Created Time: 2013-9-25 16:02:25 File Name…

Miller-Rabin 素性测试 Miller-Rabin 素数测试 一本通上的M-R不透彻啊~ Miller-Rabin是利用随机化算法判断一个数是合数还是素数. 首先,如果一个数N是素数,那么他一定满足费马小定理. \(a^{N-1}\equiv1\pmod N\) 我们可以任取数字a,计算这个式子的值来判断N是否为素数. 但是这么做不靠谱啊,有很多合数会被卡~ 我们介绍一个相关的引理. 当p是素数且p大于2时,\(1\bmod p\)的平方根只有1和-1. 证明: 假设x是\(1\bmo…

摘自:http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/27209455 看了好久没看懂,最后在这篇博客中看明白了. 费马定理的应用,加上二次探测定理. Fermat素数测试 1819年有人发现了Fermat小定理逆命题的第一个反例:虽然2的340次方除以341余1,但341=11*31.后来,人们又发现了561, 645, 1105等数都表明a=2时Fermat小定理的逆命题不成立.人们把所有能整除2^(n-1)-1的合数n叫做伪素数(pseudoprime…

有时候我们想快速的知道一个数是不是素数,而这个数又特别的大导致 $O(\sqrt n)$ 的算法也难以通过,这时候我们可以对其进行 Miller-Rabin 素数测试,可以很大概率测出其是否为素数. 两个理论基础 (1)费马小定理:当 $p$ 为质数,有 $a^{p-1}\equiv 1(mod \ p)$,反过来不一定成立,也就是说,如果 $a, \ p$ 互质,且 $a^{p-1}\equiv 1(mod \ p)$,不能推出 $p$ 是质数,比如 $Carmichael$ 数 (2)二次探…

目录 @1 - 素性测试:Miller-Rabin算法@ @1.1 - 算法来源@ @1.2 - 算法描述@ @1.3 - 算法实现@ @2 - 因数分解:Pollard-Rho算法@ @2.0 - 参考资料@ @2.1 - 算法来源@ @2.2 - 算法描述@ @2.3 - 算法实现@ @1 - 素性测试:Miller-Rabin算法@ @1.1 - 算法来源@ 假如我们需要检测一个数 x 是否为素数,我们应该怎么做? 最显然的就是从 2~n-1 尝试去找到 x 的另一个因数. 当然可以稍微优…