FFT 简介 FFT是干啥的?它是用来加速多项式乘法的.我们平时经常求多项式乘法,比如\((x+1)(x+3)=(x^2+4x+3)\).假设两个式子都是\(n\)项(不足的补0),那朴素的算法是\(O(n^2)\)的. 那么,我们能做到\(O(nlogn)\)做么? 前置知识 多项式点值表示 我们平常表达多项式,都是用系数表达的.当然,还有点值表达.用平面直角坐标系上的\(n\)个点,唯一确定一个(不超过)\(n-1\)次的多项式.它的一个特殊形式,就是两点确定一条直线. 点值转系数表达,你只…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其三)(循环卷积的Bluestein算法+分治FFT+FFT的优化+任意模数NTT) 写在前面 一些约定 循环卷积 DFT卷积的本质 Bluestein's Algorithm 例题 分治FFT 例题 FFT的弱常数优化 复杂算式中减少FFT次数 例题 利用循环卷积 小范围暴力 例题 快速幂乘法次数的优化 FFT的强常数优化 DF…

再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二)(NTT) 目录 再探快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二)(NTT) 写在前面 一些约定 前置知识 同余类和剩余系 欧拉定理 阶 原根 求原根 NTT NTT的定义 从单位根到原根 常用NTT模数表 NTT的实现 写在前面 为了不使篇幅过长,预计将把学习笔记分为四部分: DFT,IDFT,FFT的定义,实现与证明:快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其一) NTT的实现与证明:快速傅里叶变换(FFT)学习笔记(其二) 任意模数NTT与FFT的优化技巧…

第三波,走起~~ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅰ FFT/NTT复习笔记&多项式&生成函数学习笔记Ⅱ 单位根反演 今天打多校时 1002 被卡科技了--赛场上看出来是个单位根反演但不会,所以只好现学这东西了( 首先你得知道单位根是什么东西,对于 \(n\) 次方程 \(x^n-1=0(x\in\mathbb{C})\),在复数域上有 \(n\) 个根,其对应到复平面上就是单位圆的 \(n\) 等分点,我们将这些单位根从 \(x\) 轴正半轴开始顺时针依次…

目录 信号, 集合, 多项式, 以及卷积性变换 卷积 卷积性变换 傅里叶变换与信号 引入: 信号分析 变换的基础: 复数 傅里叶变换 离散傅里叶变换 FFT 与多项式 \(n\) 次单位复根 消去引理, 折半引理与求和引理 重新定义 多项式的表示 快速傅里叶变换FFT 通过 FFT 在单位复数根处插值 FFT的速度优化与迭代实现 炸精现场与 NTT 原根 NTT 任意模数 NTT 卷积状物体与分治 FFT FWT 与位运算卷积 FWT 与 \(\text{or}\) 卷积 FWT 与 \(\te…

FFT/NTT/MTT Tags:数学 作业部落 评论地址 前言 这是网上的优秀博客 并不建议初学者看我的博客,因为我也不是很了解FFT的具体原理 一.概述 两个多项式相乘,不用\(N^2\),通过\(FFT\)可以把复杂度优化到\(O(NlogN)\),\(NTT\)能够取模,\(MTT\)可以对非\(NTT\)模数取模,相对来说\(FFT\)常数小些因为不要取模 二.我们来背板子(FFT) 先放一个板子(洛谷P3803 [模板]多项式乘法(FFT)) #include<iostream>…

众所周知,tzc 在 2019 年(12 月 31 日)就第一次开始接触多项式相关算法,可到 2021 年(1 月 1 日)才开始写这篇 blog. 感觉自己开了个大坑( 多项式 多项式乘法 好吧这个应该是多项式各种运算中的基础了. 首先,在学习多项式乘法之前,你需要学会: 复数 我们定义虚数单位 \(i\) 为满足 \(x^2=-1\) 的 \(x\). 那么所有的复数都可以表示为 \(z=a+bi\) 的形式,其中 \(a,b\) 均为实数. 复数的加减直接对实部虚部相加减就行了. 复数的乘…

@(学习笔记)[FFT, NTT] 问题概述 给出两个次数为\(n\)的多项式\(A\)和\(B\), 要求在\(O(n \log n)\)内求出它们的卷积, 即对于结果\(C\)的每一项, 都有\[c_i = \sum_{j = 0}^{n}a_j \cdot b_{i - j}\] 问题求解 大致思路 朴素做法: 考虑按照上面的式子暴力运算, 时间复杂度: \(O(n^2)\) 考虑把多项式化作点值表达, 记\[A(x) =\sum_{i = 0}^n a_i x^i\] 我们把\(A\)和…

@(学习笔记)[FFT, NTT] Problem Description Calculate A * B. Input Each line will contain two integers A and B. Process to end of file. Note: the length of each integer will not exceed 50000. Output For each case, output A * B in one line. Sample Input 1 2…

定义 多项式 系数表示法 设\(A(x)\)表示一个\(n-1\)次多项式,则所有项的系数组成的\(n\)维向量\((a_0,a_1,a_2,\dots,a_{n-1})\)唯一确定了这个多项式. 即 \[A(x)=\sum \limits_{i=0}^{n-1}a_ix^i\] \[=a_0+a_1x+a_2x^2+\dots+a_{n-1}x^{n-1}\] 点值表示法 将\(n\)个互不相同的\(x\)代入多项式,会得到\(n\)个互不相同的取值\(y\).设他们组成的\(n\)维向量分别…