Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0.给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b). Input 第一行一个数T,表示询问数.接下来T行,每行两个数a,b,表示一个询问. Output 对于每一个询问,输出一行一个非负整数作为回答. Sample Input 4 7558588 9653114 6…

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3309 \[\sum_{T=1}^{min(a,b)}\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac Td)\lfloor\frac aT\rfloor\lfloor\frac bT\rfloor\] 设\(g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\mu(\frac nd)\). 假设n的质因子分解为\(p_1^{c_1},p_2^{c_2}\dots p_m^{c_m}\),设最大的质…

题目: 给定正整数n,m.求   题解: 水题有益身心健康.(博客园的辣鸡数学公式) 其实到这我想强上伯努利数,然后发现$n^2$的伯努利数,emmmmmm 发现这个式子可以算时间复杂度,emmmmm.积了个分发现时间复杂度很优秀啊(大概也就是$nlog$级别的). 所以直接算就好了. P.S.想卡卡常刷一个题榜rank1,emmmm发现自己没这个天赋. 代码: #define Troy #include "bits/stdc++.h" using namespace std; ,N=…

Description 对于正整数n,定义f(n)为n所含质因子的最大幂指数.例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0. 给定正整数a,b,求sigma(sigma(f(gcd(i,j)))) (i=1..a, j=1..b). Input 第一行一个数T,表示询问数. 接下来T行,每行两个数a,b,表示一个询问. Output 对于每一个询问,输出一行一个非负整数作为回答. Sample Input 4 10000 7558588 9…

用到一个结论——[先建树,再给每个非树边一个权值,每个树边的权值为覆盖他的非树边的权值的异或和,然后如果给出的边存在一个非空子集异或和为0则不连通,否则连通](必须保证每条边的出现和消失只能由自己产生,即一个边不能由其他其他边异或得到,这就是我们随机化边权的原因) 证明:(前置性质:I.只割非树边一定不可以 II.非树边"藏"在树边里 III.非树边是在树上是简单路径 IV.对于一个连通块(只考虑树结构),"藏"在他周围树边里的非树边要么连接他与外界(只在他周围树边…

题面 Description 神校XJ之学霸兮,Dzy皇考曰JC. 摄提贞于孟陬兮,惟庚寅Dzy以降. 纷Dzy既有此内美兮,又重之以修能. 遂降临于OI界,欲以神力而凌♂辱众生. 今Dzy有一魞歄图,其上有N座祭坛,又有M条膴蠁边. 时而Dzy狂WA而怒发冲冠,神力外溢,遂有K条膴蠁边灰飞烟灭. 而后俟其日A50题则又令其复原.(可视为立即复原) 然若有祭坛无法相互到达,Dzy之神力便会大减,于是欲知其是否连通. Input 第一行N,M 接下来M行x,y:表示M条膴蠁边,依次编号 接下来一行…

题目连接: 传送门 题解: 先%一发大佬的题解. 考虑一个图,删除一些边以后不连通的条件为,某个联通块与外界所有连边都被删掉,而不只是生成树中一个树边与所以覆盖它的非树边(很容易举出反例). 那么考虑如何才能判断一个联通块与外界隔断. 先考虑只是一棵树,那么任意割一条边都成立,那么现在我们在这棵树上加上一条边(u,v),我们发现,在(u,v)以外的树边,割一条就成立,但在(u,v)覆盖以内呢? 如图: 我们发现我们可以把(u,v)与被(u,v)覆盖的任意一条边删掉,但也可以把2向外连出,且被(u…

[BZOJ3561]DZY Loves Math VI (数论) 题面 BZOJ 题解 \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d=1}^n[gcd(i,j)=d](\frac{ij}{d})^d\\ &=\sum_{d=1}^nd^d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)=1]i^dj^d\\ &=\sum_{d=1}^nd^d\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{…

[BZOJ3512]DZY Loves Math IV(杜教筛) 题面 BZOJ 求 \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\varphi(ij)\] 其中\(n\le 10^5,m\le 10^9\). 题解 这个数据范围很有意思. \(n\)的值足够小,所以我们可以直接暴力枚举\(n\). 那么所求: \[S(n,m)=\sum_{i=1}^m\varphi(ni)\] 考虑如何将\(\varphi\)给拆开,因为\(\varphi\)只有每个质因子第一次出现的时候才会特殊计算…

[BZOJ3309]DZY Loves Math(莫比乌斯反演) 题面 求 \[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^bf(gcd(a,b))\] 其中,\(f(x)\)表示\(x\)分解质因数之后,最高的幂次 题解 完全不会莫比乌斯反演了. 先来推式子 \[\sum_{d=1}^a\sum_{i=1}^{a/d}\sum_{j=1}^{b/d}[gcd(i,j)=1]f(d)\] \[\sum_{d=1}^af(d)\sum_{i=1}^{a/d}\sum_{j=1}^{b/d}[gc…