4001: [TJOI2015]概率论 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 262  Solved: 108[Submit][Status][Discuss] Description   Input 输入一个正整数N,代表有根树的结点数   Output 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9   Sample Input 1 Sample Output 1.000000000 HINT 1<=N<=10^9 Source…

4010: [HNOI2015]菜肴制作 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 256 MB 题目连接 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4001 Description Input 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 Output 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 Sample Input 1 Sample Output 1.000000000 HINT 1<=N<=10^9 题意…

题意 求节点数为\(n\)的有根树期望的叶子结点数.(\(n \le 10^9\)) 分析 神题就打表找规律.. 题解 方案数就是卡特兰数,$h_0=1, h_n = \sum_{i=0}^{n-1} h_i h_{n-1-i} \(. 设叶子数量和为\)f_n\(,则得到\)f_n = 2 \sum_{i=0}^{n-1} f_i h_{n-1-i}$ 设\(H(x)\)表示\(h_n\)的母函数,\(F(x)\)表示\(f_n\)的母函数 容易得到:\[H(x) = x H^2(x) + 1…

题目太神了,证明还需要用到生成函数. 鉴于自己太菜,直接抄别人的结果好了. #include <map> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define F(i,j,k) for (int i…

[BZOJ4001][TJOI2015]概率论(生成函数) 题面 BZOJ 洛谷 题解 这题好仙啊.... 设\(g_n\)表示\(n\)个点的二叉树个数,\(f_n\)表示\(n\)个点的二叉树的叶子个数. 最终要求的东西就是\(\frac{f_n}{g_n}\). 考虑这个玩意怎么转移,先考虑二叉树个数,即怎么求\(f_n\). 每次我们认为新加入的点作为根节点,那么接下来只需要枚举其左右子树大小就行了,所以得到: \[g_n=\sum_{i=0}^{n-1}g_ig_{n-1-i}\] 然…

[TJOI2015]概率论 史上最短黑题 看起来一脸懵逼,没有取模,1e-9 根据期望定义,发现 分母是一个卡特兰数,,,,不能直接算 所以考虑怎么消掉一些东西 gn表示n个点的叶子个数和,fn表示n个点二叉树个数 结论:g(n)=n*f(n-1) 考虑每个n个点的树的叶子,分别拔掉所有k个叶子,给剩下的k个(n-1)个点的树打上标记 那么,g(n)就是n-1个点的所有的树被打的标记之和 一个n-1个点的树,有n个位置可以有叶子,恰好会被打n次标记! 然后,ans(n)=g(n)/f(n),f(…

题目链接 bzoj4001: [TJOI2015]概率论 题解 生成函数+求导 设\(g(n)\)表示有\(n\)个节点的二叉树的个数,\(g(0) = 1\) 设\(f(x)\)表示\(n\)个节点的二叉树叶子节点的个数,\(f_0 = 0,f_1 = 1\) 那么\(ans = \frac{f_i}{g_i}\) 对于\(g_i\) 考虑有一颗\(n\)个点的二叉树,由于左右字数都是二叉树,枚举左右子树的点数 \[g_n = \sum_{i = 0}^{n - 1}g_ig_{n - i -…

TJOI2015 Problem's Link ---------------------------------------------------------------------------- Mean: 求节点数为n的有根树期望的叶子结点数.(n≤10^9) analyse: 方案数就是卡特兰数,$h_0=1, h_n = \sum_{i=0}^{n-1} h_i h_{n-1-i} \(. 设叶子数量和为\)f_n\(,则得到\)f_n = 2 \sum_{i=0}^{n-1} f_…

\(\color{#0066ff}{ 题目描述 }\) 为了提高智商,ZJY开始学习概率论.有一天,她想到了这样一个问题:对于一棵随机生成的n个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现),它的叶子节点数的期望是多少呢? 判断两棵树是否同构的伪代码如下: \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 输入一个正整数n,表示有根树的结点数 \(\color{#0066ff}{输出格式}\) 输出这棵树期望的叶子节点数,要求误差小于1e-9 \(\color{#0066ff}{输入样例}…

题目描述: Description: Input 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 Output 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 Sample Input 1 Sample Output 1.000000000 HINT 1<=N<=10^9 洛谷链接 BZOJ链接 思路: 一眼数学期望(毕竟题目里都已经说了),那期望是什么呢??? 在概率论和统计学中,数学期望(mean)(或均值,亦简称期望)是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和,是最基本的数学特征之一.它反映随机…

题目链接:洛谷 题目大意:求所有$n$个点的有根二叉树的叶子节点数总和/$n$个点的有根二叉树的个数. 数据范围:$n\leq 10^9$ 生成函数神题!!!!(我只是来水博客的) 首先$n$个点的有根二叉树的个数就是卡特兰数,我们考虑求分子. 设卡特兰数$g_i=\frac{C_{2n}^n}{n+1}$,分子是$f_i$则 $$f_n=2*\sum_{i=0}^{n-1}g_i*f_{n-i-1}(n\geq 2)$$ $$g_n=\sum_{i=0}^{n-1}g_i*g_{n-i-1}(…

题目描述 输入 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 输出 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 样例输入 1 样例输出 1.000000000 提示 1<=N<=10^9 设$f[n]$表示$n$个节点能形成二叉树的方案数,$g[n]$表示所有方案的叶子数之和 $ans=\frac{g[n]}{f[n]}$,f$[n]$就是卡特兰数(这是卡特兰数的一个应用) 那么$g[n]$怎么求呢? 假设一种$n$节点二叉树有$k$个叶子,那么$g[n]=\sum k$ 我们将这$k$个叶子中…

设f(n)为n个节点的二叉树个数,g(n)为n个节点的二叉树的叶子数量之和.则答案为g(n)/f(n). 显然f(n)为卡特兰数.有递推式f(n)=Σf(i)f(n-i-1) (i=0~n-1). 类似地,左子树节点数为i时右子树有f(n-i-1)种情况,那么可以对左子树的叶子节点数之和计数,显然再乘2就是总数了.有递推式g(n)=2Σg(i)f(n-i-1) (i=0~n-1). 因为递推式是卷积形式,考虑生成函数.设F(x).G(x)分别为f(n).g(n)的生成函数(均为无穷级数).则有F…

看着就是要打表找规律 使用以下代码 for(int i=3;i<=20;i++) { int a1=0,a2=0; for(int j=1;j<i;j++) { for(int k=0;k<i;k++) for(int l=0;l<=j;l++) f[i][j]+=f[k][l]*f[i-k-1][j-l]; a2+=f[i][j],a1+=f[i][j]*j; } } 可以打出表 n 树总数 叶子总数 1 1 1 2 2 2 3 5 6 4 14 20 5 42 70 6 132…

前置:卡特兰数 记\(C_n\)为\(n\)个节点的二叉树的个数,\(C_0=1\),对于\(n \geq 1\),取一个根节点,枚举其左子树大小,有 \[C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_iC_{n-1-i}\] 则卡特兰数的生成函数\(C\)满足 \[C(x)=C_0+xC^2(x)=1+xC^2(x),C_0=C(0)=1\] 解方程得 \[C(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\] 上面为什么不取正呢?考虑x=0,取负上下为等阶无穷小,值为1:取正上面是2下…

传送门 生成函数好题. 题意简述:求nnn个点的树的叶子数期望值. 思路: 考虑fnf_nfn​表示nnn个节点的树的数量. 所以有递推式f0=1,fn=∑i=0n−1fifn−1−i(n>0)f_0=1,f_n=\sum_{i=0}^{n-1}f_if_{n-1-i}(n>0)f0​=1,fn​=∑i=0n−1​fi​fn−1−i​(n>0) 正是一个卷积的形式. 那么fnf_nfn​的生成函数F(x)=xF2(x)+1F(x)=xF^2(x)+1F(x)=xF2(x)+1 注意要填上…

题意 \(n\) 个节点二叉树的叶子节点的期望个数. \(n\leq 10^9\) . 分析 实际询问可以转化为 \(n\) 个点的不同形态的二叉树的叶子节点总数. 定义 \(f_n\) 表示 \(n\) 个节点的二叉树的个数, \(g_n\) 表示 \(n\) 个节点的不同形态的二叉树的叶子节点总数. 设一棵 \(n\) 个节点的树有 \(m\) 个叶子节点,每删去一个叶子节点都可以得到一棵大小为 \(n-1\) 的二叉树,考虑每个大小为 \(n-1\) 的二叉树,共有 \(n\) 个叶子节点…

考虑分别求出$f_n, g_n$表示$n$个点的有根二叉树的数量和$n$个点的所有情况下有根二叉树的叶子结点的总数 有$f_n = \sum_{k} f_k * f_{n - 1 - k}$,因此有$f_n = C_n$,其中$C_n$为卡特兰数 有$g_n = \sum_{k} g_k * f_{n - 1 - k} + g_{n - 1 - k} * f_k$ 通过打表,可以发现$g_n = n * C_{n - 1}$,可以用归纳法证明 因此答案为$\frac{g_n}{f_n} = \f…

Description Input 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 Output 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 Sample Input 1 Sample Output 1.000000000 HINT 1<=N<=10^9 Solution 好神仙一个题啊……rqy大爷的证明真的超简单明了QwQ膜拜rqy 首先设$f_n$表示$n$个点的二叉树个数,$g_n$表示$n$个点所有$f_n$棵二叉树的叶节点总数打个表可以发现:$f:1 ~2~ 5~ 14 ~42$$g:…

题目描述 输入 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 输出 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 样例输入 1 样例输出 1.000000000 题解 生成函数+导数 先考虑节点个数为$n$的二叉树有多少个:$c_0=1,c_i=\sum\limits_{j=0}^{i-1}c_j*c_{i-j-1}$,显然这是Catalan数. 令其生成函数为$F(x)$,由其递推式可以列出方程:$F(x)=xF(x)^2+1$,解得: $F(x)=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}…

题目大意:对于一棵随机生成的$n$个结点的有根二叉树,所有不同构的形态等概率出现(这里同构当且仅当两棵二叉树根相同,并且相同节点的左儿子和右儿子都相同),求叶子节点个数的期望是多少? 题解:令$f_n$表示$n$个节点的二叉树的个数,$g_n$表示这$f_n$棵二叉树的叶子节点个数和. 打(ti)表(jie)发现:$g_n=n f_{n-1}$ 证明:而每棵$n-1$个点的二叉树恰好有$n$个位置可以悬挂一个新的叶子,所以每棵$n-1$个点的二叉树被扩展了$n$次.发现会算重复,但是对于一个有$…

题目链接 BZOJ4001 题解 Miskcoo 太神了,orz #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<cmath> #include<map> #define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt) #define REP(i,n) for (int…

点此看题面 大致题意: 问你一棵\(n\)个节点的有根二叉树叶节点的期望个数. 大致思路 看到期望,比较显然可以想到设\(num_i\)为\(i\)个节点的二叉树个数,\(tot_i\)为所有\(i\)个节点的二叉树的叶节点总数. 则答案显然为\(\frac{tot_i}{num_i}\). 而\(num_i\)其实就是一个卡特兰数(这其实就是\(NOIP2018\)提高组初赛卷中\(T8\)的\(A\)选项改正后的结果啊),故可以得到\(num_i=(2n)!/(n+1)!/n!\). 通过找…

这道题...好像是第一道我自己切出来的黑题... 先说一句,牛顿二项式蒟蒻并不会,可以说是直接套结论. 求诸位老爷轻喷. 这道题用卡特兰数搞. 卡特兰数这玩意从普及组初赛一路考到省选,十分有用. 如果不清楚这个概念的话可以看一下这里. 卡特兰数是有两种计算方法: 1) 用递推算. 2) 用排列组合. 用它解题的流程一般是先说明所求的问题可以归到第一类中,然后再用第二类来计算具体的值. 像这道题就可以用卡特兰数水过. 我们假设\(f_i\)表示节点数为i的二叉树有多少种. 那么可以发现存在这样的关…

题意 求一个含有 $n$ 个结点的有序二叉树的叶子节点的期望个数.($n \leq 10^9$) 分析 一堆推导..... 得 $ans = \frac{n(n+1)}{2(2n-1)}$ #include<bits/stdc++.h> using namespace std; double n; int main() { scanf("%lf", &n); printf()//(*n-)); ; } BZOJ一直WA,还以为是double的精度问题. 建议去洛谷交…

题目大意 随机生成一棵\(n\)(n\leq10^9)个节点的有根二叉树,问叶子结点个数的期望. 题解 subtask 1:\(n\leq100\),70pts 结论:不同的\(n\)个节点的有根二叉树有\(\frac{C_{2\times n}^{n}}{n+1}\)(也就是卡特兰数)个. 设\(f(i)\)表示\(i\)个节点的有根二叉树期望有几个叶子结点. 计算\(f(i)\)时考虑除根以外\(i-1\)个节点哪些放左边,哪些放右边.\(\Theta(n^2)\). subtask 2:\…

一棵随机生成的 \(n\) 个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现)的叶子节点数的期望.\(n \leq 10^9\) Solution \(n\) 个点的二叉树个数即 Catalan 数 \(f(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}\) 设 \(g(n)\) 为 \(n\) 个点的所有二叉树的叶子个数和,找规律得 \(g(n)=nf(n-1)\) Proof. 对于 \(n\) 个点,\(k\) 个叶子的二叉树,删掉任意一个叶子可以得到 \(k\) 个 \(n-1\) 个…

Search GO 说明:输入题号直接进入相应题目,如需搜索含数字的题目,请在关键词前加单引号 Problem ID Title Source AC Submit Y 1000 A+B Problem 10983 18765 Y 1036 [ZJOI2008]树的统计Count 5293 13132 Y 1588 [HNOI2002]营业额统计 5056 13607 1001 [BeiJing2006]狼抓兔子 4526 18386 Y 2002 [Hnoi2010]Bounce 弹飞绵羊 43…

TJOI2015终于写完啦~~~ T1:[TJOI2015]旅游 描述:(BZ没题面只能口述了..)一个人在一棵树上走,每次从a->b会进行一次贸易(也就是在这条路径上买入物品然后在后面卖出)然后每次经过一个点该点的物品价格会上涨v,求每次贸易的最大获利 很裸的一道树链剖分,就是题目描述太不明白了..这样就是在某条路径上找到某个点减去后面路径的最小点的值的最大值.可以用线段树的区间合并解决.就是在求答案时的合并答案上方向搞反了查了很久...以前也犯过着种错误,以后不能再犯了.. CODE: #i…

(这篇我就不信有网站来扣) 这个暑假打算刷刷题啥的 但是写博客好累啊  堆一起算了 隔一段更新一下.  7月27号之前刷的的就不写了 , 写的累 代码不贴了,可以找我要啊.. 2017.8.27update : 开学了终于搞到了550  可还行 *数据结构 *可持久化线段树/主席树 *bzoj3932 [CQOI2015] 任务查询系统 : 比较裸的主席树,任务查分一下就好了  cqoi真良心 *bzoj4026 dC Loves Number Theory :  数论个头啊,对每个数分解质因数…