Mittag-Leffler定理    设$D\subset\mathbb C$为区域,而$\{a_{n}\}$为$D$中互不相同且无极限点的点列,那么对于任意给定的一列自然数$\{k_{n}\}$,定义函数$$\psi_{n}(z)=\sum_{j=1}^{k_{n}}\frac{c_{n,j}}{(z-a_{n})^j},n\in\mathbb N$$ 则必存在$D$上的亚纯函数$f(z)$使得$f$以$\{a_{n}\}$为其极点集,且在每个$a_{n}$附近的Laurent展开式的主要部…

最近,研究了两天的Burnside引理和Polya定理之间的联系,百思不得其解,然后直到遇到下面的问题: 对颜色限制的染色 例:对正五边形的三个顶点着红色,对其余的两个顶点着蓝色,问有多少种非等价的着色? 其中置换的方法有旋转 \(0^{\circ}, 72^{\circ}, 144^{\circ}, 216^{\circ}, 288^{\circ}\), 穿过一个点做对称轴进行翻转. Burnside引理的证明 那么,在解决这个问题之间,我们首先要定义和证明一些东西: 在集合\(X\)的置换群…

转载自:https://blog.csdn.net/whereisherofrom/article/details/79631703 Burnside引理 笔者第一次看到Burnside引理那个公式的时候一头雾水,找了本组合数学的书一看,全是概念.后来慢慢从Polya定理开始,做了一些题总算理解了.本文将从最简单的例子出发,解释Burnside引理和Polya定理.然后提供一些自己做过的和上述定理相关的题目和解题报告. Burnside引理是为了解决m种颜色给n个对象染色的计数问题. [例题1]…

原文链接 首先说说格林公式(Green's theorem).对于一段封闭曲线,若其围城的区域D为单连通区域(内部任意曲线围城的区域都属于院区域),则有如下公式: 其中其中L为D的边界,取正方向.如果沿着L前进,左边是D的内部区域,那么此时的L定义为正方向. 利用格林公式求面积的方法:曲线围成的区域的面积为: 格林是十八世纪英国自学成才的数学家,他只上过一年学.1828年格林三十五岁的时候,把他当时对数学的研究写成小册子分发给民众.五年后,在一位乡野数学家的帮助下,他得以进入了剑桥大学学习.但是…

科技行业流传着很多关于比尔·盖茨的故事,其中一个是他和通用汽车公司老板之间的对话.盖茨说,如果汽车工业能够像计算机领域一样发展,那么今天,买一辆汽车只需要 25 美元,一升汽油能跑四百公里.通用汽车老板反击盖茨的话我们暂且不论,这个故事至少说明计算机和整个 IT行业的发展比传统工业要快得多. 最早看到这个现象的是英特尔公司的创始人戈登·摩尔(Gordon Moore)博士.早在 1965 年,他就提出,在至少十年内,集成电路的集成度会每两年翻一番.后来,大家把这个周期缩短到十八个月.现在,每十八…

1976年6月4号,周5,在远离音乐会大厅的一个楼上的房间内,在位于Manchester的Lesser Free Trade Hall ,Sex Pistols 乐队(注:Sex Pistols的经理人Malcolm McLaren 2010.4.8去世)開始了他们的第一次演出(gig, 注:规模太小称不上演唱会 ).关于当晚谁出席了那场演出有些混乱,部分是由于6周后的还有一场音乐会,但最基本的还是由于,这场演出被觉得是永久改变西方音乐文化 的一场演出.这场演出是如此的重要且富有象征意义,以至于…

扩展Lucas定理模板题(貌似这玩意也只能出模板题了吧~~本菜鸡见识鄙薄,有待指正) 原理: https://blog.csdn.net/hqddm1253679098/article/details/82897638 https://blog.csdn.net/clove_unique/article/details/54571216 感觉扩展Lucas定理和Lucas定理的复杂程度差了不止一个档次,用到了一大堆莫名其妙的函数. 另外谁能告诉我把一个很大的组合数对一个非质数取模有什么卵用 #i…

转自:http://endlesscount.blog.163.com/blog/static/82119787201221324524202/ Polya定理 首先记Sn为有前n个正整数组成的集合,G为Sn的置换群,C为Sn的着色集.那么我们等于是要求C中有多少种着色方案是不等价的.定义两种着色等价的概念:如果对于在C中的两种着色c1.c2,存在置换f使得f*c1=c2,那么c1和c2就是等价的.要想求不等价着色的个数,我们要先证明一个定理,即:         Burnside定理:设G(c…

Codeforces Round #258 (Div. 2) Devu and Flowers E. Devu and Flowers time limit per test 4 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output Devu wants to decorate his garden with flowers. He has purchased n boxes…

#include <cstdio> int main() { // freopen("in.txt","r",stdin); ; while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d)) { && e == - && i == - && d== -) break; ,m2 = ,m3 = ; const int M1 = m2*m3, M2…

众所周知,对一个$n$阶方阵求取特征值需要解一个一元$n$次方程,当$n$很大时,这是很难实现的.但是,在有些涉及矩阵的实际问题中,我们并不需要知道矩阵特征值的准确值,而只需要知道其大概范围就行了,例如判定一个线性系统最终是否会趋于稳定时,只需要看其特征方程的所有特征根是否均有负实部,即所有的特征根是否均落在$x$轴负半轴上就行了:判定一个$n$阶方阵是否半正定,只需要考察其所有特征值是否均非负,类似的例子还有很多,就不一一赘述了.那么对于这类问题,我们迫切地需要这样一个工具,相比于解$n$次的…

一.分布式领域CAP理论 CAP定理指在设计分布式系统时,一致性(Consistent).可用性(Availability).可靠性(分区容忍性Partition Tolerance)三个属性不可能同时满足,该定理也叫做布鲁尔定理.CAP定理明确了分布式系统所能实现系统的局限性,目前互联网中的很多分布式系统是基于首要满足可用性和分区容忍性而设计的. 在一系列的研究结果里发现,在较大型的分布式系统中,由于网络分隔,一致性与可用性不能同时满足,这意味着这三个要素只能同时实现两个,不可能三者兼顾:放宽…

摩尔定理给所有的计算机消费者带来一个希望,如果我今天嫌计算机太贵买不起,那么我等十八个月就可以用一半的价钱来买.要真是这样简单的话,计算机的销售量就上不去了.需要买计算机的人会多等几个月,已经有计算机的人也没有动力更新计算机.其它的 IT 产品也是如此. 事实上,在过去的二十年里,世界上的个人微机销量在持续增长.2004 年,英特尔公司估计,五年内,即到 2009 年,世界上 PC(包括个人机和小型服务器)的销量会增长 60%,远远高于经济的增长.那么,是什么动力促使人们不断地更新自己的硬件呢?…

分析: 给定一个非负整数序列{dn},若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应,则称此序列可图化. 进一步,若图为简单图,则称此序列可简单图化 (来自百度百科) 可简单图化的判定可以用Havel-Hakimi定理,然后简述 Havel-Hakimi定理 Havel-Hakimi定理的过程: 1,按度数排序. 2,选取度数最大的点,如果该点度数为0,结束,有解 3,每次选一个度数最大的点,然后将后面的点的度数依次减1,表示该顶点和相应的顶点有边相连, 如果有点的度数减到负数,结束,无解.…

在p是素数的情况下,对任意整数x都有xp≡x(mod p).这个定理被称作费马小定理其中如果x无法被p整除,我们有xp-1≡1(mod p).利用这条性质,在p是素数的情况下,就很容易求出一个数的逆元.那上面的式子变形之后得到a-1≡ap-2(mod p),因此可以通过快速幂求出逆元. 我们先来证明一下费马小定理: 费马小定理证明: 一.准备知识 引理1:剩余系定理2 若a,b,c为任意3个整数,m为正整数,且(m,c)=1,则当ac≡bc(mod m)时,有a≡b(mod m) 证明:ac≡b…

In some countries building highways takes a lot of time... Maybe that's because there are many possiblities to construct a network of highways and engineers can't make up their minds which one to choose. Suppose we have a list of cities that can be c…

前两天在网上不经意间搜到了一本吴军的<浪潮之巅>,讲的是现代国际上计算机界的各大公司的兴衰沉浮,包括AT&T公司与IBM等等,把它当作IT历史书看,到现在已经看了一部分了.其中,我对计算机工业的生态链这一章很有兴趣,之中主要你讲了三个IT定理,分别是摩尔定理,安迪-比尔定理和反摩尔定理.还有一个很有意思的现象是,这些大公司基本上是在美国,而且美国的反垄断法对这些公司也是很有威胁的,目前我看到的好几家大公司的发展史上,都或多或少的被反垄断法所困扰. 摩尔定理 最早发现这个定理的是英特尔的…

题目链接: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4704 题目大意: 看似复杂,其实就是求整数n的划分数,4=1+1+2和4=1+2+1是不同的.因而可知答案是2n-1. 题目分析: 因为n实在是太大太大了,这可咋办啊?!n<10100000. 做这场的时候没有注意到,也是当时没有看过什么是费马小定理,居然跟模值有关系!mod=1000000007.这个mod有什么特点呢?它是个质数. 费马小定理揭示了:当p是一个素数并且a和p互质时,ap-1 %…

在计算机领域,如果是初入行就算了,如果是多年的老码农还不懂 CAP 定理,那就真的说不过去了.CAP可是每一名技术架构师都必须掌握的基础原则啊. 现在只要是稍微大一点的互联网项目都是采用 分布式 结构了,一个系统可能有多个节点组成,每个节点都可能需要维护一份数据.那么如何维护各个节点之间的状态,如何保障各个节点之间数据的同步问题就是大家急需关注的事情了. CAP定理是分布式系统中最基础的原则.所以理解和掌握了CAP,对系统架构的设计至关重要. 一.什么是 CAP? 「 CAP定理 」又被称为 布…

团饱和图:(一)EHM定理 据A. Hajnal考证,术语"饱和性",即saturation,最早由前苏联数学家A. A. Zykov在1949年引入,用于研究线性复形,但是他的工作并没有引起图论学家的足够关注．1961年,P. Erdos和T. Gallai在研究顶点覆盖问题时提出了一个猜想,而这个猜想事实上使用了图饱和数的概念(但并没有使用该术语),这个猜想在1964年被P. Erdos,A. Hajnal和J. W. Moon证明,我们称为EHM定理．随后在1965年,A. Ha…

弹药科技 时间限制: 1 Sec 内存限制: 128 MB 题目描述 经过精灵族全力抵挡,精灵终于坚持到了联络系统的重建,于是精灵向人类求助, 大魔法师伊扎洛决定弓}用博士的最新科技来抗敌. 伊扎洛:"博士,还没好吗?" 博士:"只差一步了!只需要在正确的位置装上弹药就可以了!"博士的最新科技是全新的炸弹,但是现在还需要一步装弹药的操作.博士的炸弹有N!个位置可以装弹药(>.<),但是只有在正确的位置装上弹药才能启动,博士将装弹药的位置编号为1到N!,一…

置换群 设\(N\)表示组合方案集合.如用两种颜色染四个格子,则\(N=\{\{0,0,0,0\},\{0,0,0,1\},\{0,0,1,0\},...,\{1,1,1,1\}\}\),\(|N|=2^4\). 对于\(N\)上的所有置换,它们组成的群称为置换群,记为\(G\).\(G\)中任意两个置换的积仍在\(G\)中. Burnside引理 又称轨道计数定理.Burnside计数定理.Cauchy-Frobenius定理.Pólya-Burnside引理. 定理描述为:\(等价类数量=\…

青蛙的约会 Time Limit: 1000MS   Memory Limit: 10000K Total Submissions:132162   Accepted: 29199 Description 两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面.它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止.可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置.不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能…

Google(谷歌)的 CEO 埃里克·施密特在一次采访中指出,如果你反过来看摩尔定理,一个 IT 公司如果今天和十八个月前卖掉同样多的.同样的产品,它的营业额就要降一半.IT 界把它称为反摩尔定理.反摩尔定理对于所有的 IT 公司来讲,都是非常可悲的,因为一个 IT 公司花了同样的劳动,却只得到以前一半的收入.反摩尔定理逼着所有的硬件设备公司必须赶上摩尔定理规定的更新速度.事实上,所有的硬件和设备生产厂活得都是非常辛苦的.下表中列举了各个领域最大的公司今天的股值和他们最高值的比例. IBM:…

http://acm.csu.edu.cn/csuoj/problemset/problem?pid=1805 题意: A和B之间有a条边,A和G之间有b条边,B和G之间有c条边.现在从A点出发走遍所有的边,然后再回到A点,问一共有多少种方法. 思路: 16年湖南省赛题目,这道题目是求欧拉回路的个数,和生成树的计数有一定的联系. 首先给出神奇的Best定理,这是什么鬼定理,反正查不到什么有关该定理的文章... $ec(G)=t_s(G)\cdot deg(s)! \cdot \prod_{v\i…

(本篇无证明,想要证明的去找度娘)o(*≧▽≦)ツ ----------数论四大定理--------- 数论四大定理: 1.威尔逊定理 2.欧拉定理 3.孙子定理(中国剩余定理) 4.费马小定理 (提示:以后出现(mod p)就表示这个公式是在求余p的条件下成立) 1.威尔逊定理:(PS:威尔逊是个厉害人) 当且仅当p为素数时:( p -1 )! ≡ -1 ( mod p ) 或者这么写( p -1 )! ≡ p-1 ( mod p ) 或者说 若p为质数,则p能被(p-1)!+1整除 在初等数…

Latex中定义.定理.引理.证明 设置方法总结 在LaTex中需要有关定理.公理.命题.引理.定义等时,常用如下命令 \newtheorem{定理环境名}{标题}[主计数器名] \newtheorem{theorem}{Theorem}[Chapter] 意思就是定义一个以Theorem为标题的theorem环境,计数以章节数为主. \begin{theorem}[均值不等式] 设$A,B$是两个实数, 则$2AB\leq 2 A^2+B^2$. \end{theorem} 如果需要输出中文,…

运用矩阵树定理进行生成树计数 给定一个n个点m条边的无向图,问生成树有多少种可能 直接套用矩阵树定理计算即可 矩阵树定理的描述如下: 首先读入无向图的邻接矩阵,u-v G[u][v]++ G[v][u]++ 度数矩阵: u-v D[u][u]++ D[v][v]++; 然后计算图G的基尔霍夫矩阵 C=D-G 接着去掉基尔霍夫矩阵的第i行和第i列(必须都是i,i取任意值) 计算剩下的子矩阵的行列式的值得绝对值即为生成树个数 然后对于有向图来说: 边 u->v G[u][v]++ 然后是D[v][v…

题意:根据图的度数列构造图 分析:该题可根据Havel定理来构造图.Havel定理对可图化的判定: 把序列排成不增序,即d1>=d2>=……>=dn,则d可简单图化当且仅当d’={d2-1,d3-1,……d(d1+1)-1, d(d1+2),d(d1+3),……dn}可简单图化.简单的说,把d排序后,找出度最大的点(设度为d1),把它与度次大的d1个点之间连边,然后这个点就可以不管了,一直继续这个过程,直到建出完整的图,或出现负度等明显不合理的情况. #include <cstdi…

题目大意:已知机器人行走步数及每一步的坐标变化量,求机器人所走路径围成的多边形的面积.多边形边上和内部的点的数量. 思路:叉积求面积,pick定理求点. pick定理:面积=内部点数+边上点数/2-1. // Time 0ms; Memory 236K #include<iostream> #include<cstdio> #include<cmath> using namespace std; struct point { int x,y; point(int xx=…