评:证明时对求导要求较高,利用这个观点,对平时熟悉的调和平均,几何平均,算术平均,平方平均有了更深 刻的认识.…

这种构造二次函数的方法最早接触的应该是在证明柯西不等式时: 再举一例: 最后再举个反向不等式的例子: 评:此类题目的证明是如何想到的呢?他们都有一个明显的特征$AB\ge(\le)C^2$,此时构造二次函数利用$\Delta$证明,效果非常理想.…

LTE (Lifting The Exponent Lemma)引理是一个解指数型不定方程的强力工具.它在Olympiad folklore非常知名,虽然它的起源已经无从查找了.它和Hensel’s lemma关系密切,无论命题还是证明.本文证明它并给出它的一些应用.我们可以用本引理解决大量的指数型不定方程问题.尤其是我们可以找到某些质因子的时候.有时LTE引理甚至能秒杀一道题.这个引理告诉我们如何求一个奇素数p在a^n-b^n中的次数.这个引理的证明是完全初等的而且对一般竞赛生不难理解. 我们…

(2012浙江压轴题)已知$a>0,b\in R$,函数$f(x)=4ax^3-2bx-a+b$.1)证明:当$0\le x\le 1$时,i)函数$f(x)$的最大值为$|2a-b|+a;$ii)$f(x)+|2a-b|+a\ge0$2)若$-1\le f(x)\le 1$对$x\in[0,1]$恒成立,求$a+b$的范围. 证明:$f(0)=b-a,f(1)=3a-b$故$f(0)+f(1)=2a>0$,所以$\max\{f(0),f(1)\}=\max\{|f(0)|,|f(1)|\}$…

前言 在算法中,经常需要用到一种与调和级数有关的方法求解,在分析该方法的复杂度时,我们会经常得到\(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)的复杂度,然后我们都知道这个式子是等价于\(O(n\log n)\)的.在筛素数.字符串连续重复子串等很多算法中都有用到,用处之广,性能之优.今天不妨来证明下这个等价式. \(O(\frac{n}{1}+\frac{n}{2}+\ldots+\frac{n}{n})\)~\(O(n\log n)\) 分析…

Description: 有2n个硬币和一个天平,其中有一个质量是m+1, 另一个硬币质量为m-1, 其余的硬币质量都是m. 要求:O(lgn)时间找出两枚假币 注意: n不一定是2的幂次方 算法1:O(n)算法 将2n个硬币分成n组(每组2个)进行称量: 结果只有两种: 1. 仅有一组出现天平不平衡: 一定就是 两个假币 2. 出现两组天平不平衡: 这四个硬币中必定存在两个假币.将重的硬币称量,轻的两个硬币称量得到结果. 算法2: O(lgn)算法 分治 首先假设n是2的幂次方(如果不是,则可…

詹森不等式: 证明:…

基于对概率问题的抽象化,通过期望.方差.随机变量X及其概率,我们想要通过几个量推出另外几个量的特征,笼统的来说,极限定理起到的作用便在于此 切比雪夫不等式: 在证明切比雪夫不等式之前,我们先要完成对马尔可夫不等式的证明. 马尔可夫不等式: 证明: 这里可能有人会问,为什么X和a必须取非负值呢?这里只要是为了满足第一个∵那里的不等式. 切比雪夫不等式: 证明: 可以看到,切比雪夫带给我们最直观的意义就是,在知道随机变量X的期望和方差的同时,利用它可以导出概率的上界.…

在切诺夫界的证明中用到了Markov不等式,证明于此~顺便把Chebyshev不等式也写上了…

整理即证 参考资料: [1].琴生不等式及其加权形式的证明.Balbooa.https://blog.csdn.net/balbooa/article/details/79357839.2018.2 [2].Minkowski不等式的证明. http://www.doc88.com/p-2542077482568.html…