Solution: ​ 先考虑前缀,设 \(f(i, j)\) 为长度为 \(i\) 的排列中满足前缀最大值为自己的数有 \(j\) 个的排列数. 假设新加一个数 \(i+1\) 那么会有: \[ f(i,j)\rightarrow f(i + 1, j + 1)\\ f(i, j)\times i\rightarrow f(i + 1, j) \] ​ 即将 \(i+1\) 放在那哪个位置,会对后面产生贡献,综合一下,\(f(i, j)\) 就是第一类斯特林数 \(i \brack j\) .…

题目传送门 https://codeforces.com/contest/960/problem/G 题解 首先整个排列的最大值一定是 \(A\) 个前缀最大值的最后一个,也是 \(B\) 个后缀最大值的最后一个. 那么枚举一下最大值的位置为 \(i\),那么左右两边各选一些数的方案数为 \(\binom {n-1}{i-1}\). 然后,左边有 \(i-1\) 个数,要分成 \(A-1\) 个部分,每一个部分的第一个数是所有数中最大的,并且每一个部分之间的最大值要递增. 可以发现这个问题等价于…

传送门 弱化版:FJOI2016 建筑师 由上面一题得到我们需要求的是\(\begin{bmatrix} N - 1 \\ A + B - 2 \end{bmatrix} \times \binom {A+B-2} {A - 1}\) 注意到这题的复杂度瓶颈是求第一类斯特林数,因为求组合数可以\(O(N)\),但是暂时我们求第一类斯特林数只有\(O(N^2)\)的方法 考虑第一类斯特林数的转移式子:\(\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{b…

题目链接 CF960G 题解 同FJOI2016只不过数据范围变大了 考虑如何预处理第一类斯特林数 性质 \[x^{\overline{n}} = \sum\limits_{i = 0}^{n}\begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}x^{i}\] 分治\(NTT\)即可在\(O(nlog^2n)\)的时间内预处理出同一个\(n\)的所有\(\begin{bmatrix} n \\ i \end{bmatrix}\) 其实还有比较优美的倍增\(fft\)的\(O(…

正题 题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF960G 题目大意 求有多少个长度为\(n\)的排列,使得有\(A\)个前缀最大值和\(B\)个后缀最大值. \(0\leq n,A,B\leq 10^5\) 解题思路 显然的是把最大的数两边然后左边的是前缀最大值,右边的是前缀最小值. 然后考虑两个前缀最大值之间其实可以插任何数字,但是最大的一定要排在前面. 其实就是这些数字分成若干个圆排列的个数,就是第一类斯特林数. 枚举左右两边的数量就有 \[\sum_{…

题目大意: 求满足比之前的任何数小的有A个,比之后的任何数小的有B个的长度为n的排列个数. 题目分析: 首先写出递推式,设s(n,k)表示长度为n的排列,比之前的数小的数有k个. 我们假设新加入的数为1,那么s(n,k)=s(n-1,k-1)+(n-1)*s(n,k). 这个式子是第一类斯特林数的递推式. 用h(n,a,b)表示满足题目给出条件的排列个数. 得出h(n,a,b)=Σs(k,a-1)*s(n-k-1,b-1)*C(n-1,k).直观的理解就是将原排列从最高点分成两部分,两部分分别组…

Codeforces 题面传送门 & 洛谷题面传送门 神仙题.在 AC 此题之前,此题已经在我的任务计划中躺了 5 个月的灰了. 首先考虑这个最短距离是什么东西,有点常识的人(大雾)应该知道,对于一个排列 \(p\) 而言,通过交换两个元素使其变成 \(1,2,3,4,\cdots,n\) 的最少步数等于 \(n\) 减去该排列中置换环的个数,因此对于两个排列 \(a,b\) 而言,将 \(a\) 变成 \(b\) 所需的最少步数即是在所有 \(a_i\) 与 \(b_i\) 之间连 \(a_i…

$ \color{#0066ff}{ 题目描述 }$ 给你三个正整数 \(n\),\(a\),\(b\),定义 \(A\) 为一个排列中是前缀最大值的数的个数,定义 \(B\) 为一个排列中是后缀最大值的数的个数,求长度为 \(n\) 的排列中满足 \(A = a\) 且 \(B = b\) 的排列个数.\(n \le 10^5\),答案对 \(998244353\) 取模. \(\color{#0066ff}{输入格式}\) 三个整数n,a,b \(\color{#0066ff}{输出格式}\…

[CF960G]Bandit Blues(第一类斯特林数,FFT) 题面 洛谷 CF 求前缀最大值有\(a\)个,后缀最大值有\(b\)个的长度为\(n\)的排列个数. 题解 完完全全就是[FJOI]建筑师的加强版本. 显然每一个前缀最大值和一段连续的区间构成了一个环排列,显然每个前缀最大值就是这个环中的最大值.而全局最大值一定把前后缀最大值分开. 所以答案考虑除最大值外,左侧需要\(a-1\)个前缀最大值,右侧需要\(b-1\)个前缀最大值.也就是一共要\(a+b-2\)个环,那么这一部分的贡…

传送门 可以去看看litble巨巨关于第一类斯特林数的总结 设\(f(i,j)\)为\(i\)个数的排列中有\(j\)个数是前缀最大数的方案数,枚举最小的数的位置,则有递推式\(f(i,j)=f(i-1,j-1)+(i-1)\times f(i-1,j)\) 这个就是第一类斯特林数 第一类斯特林数中\(S_1(n,m)\)是\(\prod_{i=0}^{n-1}(x+i)\)中\(x^m\)的系数,可以用分治\(FFT\)做到\(O(n\log^2n)\)的复杂度 首先\(n\)肯定是前缀最大值…