这题...毒瘤吧,可能要写两份代码... 传送门 noteskey 我们考虑这里的复杂度肯定是与 k 相关的,而且平方也是没问题的,那么我们先看看 S(k) 能怎么得到: \[\begin{aligned}S(k)=&\sum_{i=1}^n i^k r^i\\ r·S(k)=&\sum_{i=2}^{n+1} (i-1)^k r^i \\ (r-1)S(k)=& r^{n+1}n^k-r+ \sum_{j=2}^{k-1} r^i((j-1)^k-j^k)\\\\ &\t…

题目链接 B51nod1229 题解 我们要求 \[\sum\limits_{i = 1}^{n}i^{k}r^{i}\] 如果\(r = 1\),就是自然数幂求和,上伯努利数即可\(O(k^2)\) 否则,我们需要将式子进行变形 要与\(n\)无关 设 \[F(k) = \sum\limits_{i = 1}^{n} i^{k}r^{i}\] 自然数幂应该是不用去动了,两边乘个\(r\) \[rF(k) = \sum\limits_{i = 2}^{n + 1}r^{i}(i - 1)^{k}…

正题 题目链接:http://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#problemId=1229 题目大意 给出\(n,k,r\)求 \[\sum_{i=1}^ni^kr^i \] \(1\leq T\leq 20,1\leq n,r\leq 10^{18},1\leq k\leq 2000\) 解题思路 如此明显的式子直接开推 \[S_k=\sum_{i=1}^ni^kr^i,rS_k=\sum_{i=2}^{n+1}(i-1)^kr^i \] \[(r-1…

题目大意 ​ 一个序列\(a_1,\ldots,a_n\)是合法的,当且仅当: ​ 长度为给定的\(n\). ​ \(a_1,\ldots,a_n\)都是\([1,m]\)中的整数. ​ \(a_1,\ldots,a_n\)互不相等. ​ 一个序列的值定义为它里面所有数的乘积,即\(a_1\times a_2\times\cdots\times a_n\). 求所有不同合法序列的值的和. ​ 两个序列不同当且仅当他们任意一位不一样. ​ 输出答案对一个数\(p\)取余的结果. \(n\leq50…

题面 传送门 题解 这种颓柿子的题我可能死活做不出来-- 首先\(r=0\)--算了不说了,\(r=1\)就是个裸的自然数幂次和直接爱怎么搞怎么搞了,所以以下都假设\(r>1\) 设 \[s_p=\sum_{i=1}^n i^pr^i\] 我们要求的就是\(s_k\) 因为有 \[s_k=\sum_{i=1}^n i^kr^i\] \[rs_k=\sum_{i=2}^{n+1}r^{i}(i-1)^k\] 两个柿子减一减 \[(r-1)s_k=r^{n+1}n^k-r+\sum_{i=2}^nr…

[题意]一个序列$a_1,...,a_n$合法当且仅当它们都是[1,A]中的数字且互不相同,一个序列的价值定义为数字的乘积,求所有序列的价值和.n<=500,A<=10^9,n+1<A<mod<=10^9,mod是素数. [算法]动态规划+拉格朗日插值 [题解]这道题每个数字的贡献和序列选了的数字积关系密切,所以不能从序列角度考虑(和具体数字关系不大). 设$f_{n,m}$表示前n个数字(值域)中取m个数字的答案,那么枚举取或不取数字n,取n时乘n且有j个位置可以插入,即:…

LINK:数列求和 每次遇到这种题目都不太会写.但是做法很简单. 终有一天我会成功的. 考虑类似等比数列求和的东西 帽子戏法一下. 设\(f(k)=\sum_{i=1}^ni^ka^i\) 考虑\(af(k)\)这个式子 两式做差. \((a-1)f(k)=n^n\cdot a^{n+1}-a+\sum_{i=2}^n{a^i((i-1)^k-i^k)}\) 右边直接二项式展开 然后 交换求和顺序可得. \((a-1)f(k)=n^k\cdot a^{n+1}-a+\sum_{j=0}^{k-1…

题目大意 ​ 有一个\(n\)个点\(m\)条边的图,每条边有一种颜色\(c_i\in\{1,2,3\}\),求所有的包括\(i\)条颜色为\(1\)的边,\(j\)条颜色为\(2\)的边,\(k\)条颜色为\(3\)的边的生成树的数量. ​ 对\({10}^9+7\)取模. ​ \(n\leq 50\) 题解 ​ 如果\(\forall i,c_i=1\),就可以直接用基尔霍夫矩阵计算生成树个数.但是现在有三种颜色,不妨设\(c_i=2\)的边的边权为\(x\),\(c_i=3\)的边的边权为…

BZOJ 洛谷 待补.刚刚政治会考完来把它补上了2333.考数学去了. DP: 首先把无序化成有序,选严格递增的数,最后乘个\(n!\). 然后容易想到令\(f_{i,j}\)表示到第\(i\)个数,当前选的是\(j\)的价值和.复杂度是\(O(nA)\)的.然后忘掉这个做法吧这个做法没前途. 上面这个做法最后还要\(O(A)\)求一遍和,感觉不够优美. 直接令\(f_{i,j}\)表示选了\(i\)个数,选的最大的数\(\leq j\)的价值和.转移为:\(f_{i,j}=f_{i,j-1}+…

http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1258 1258 序列求和 V4  基准时间限制:8 秒 空间限制:131072 KB 分值: 1280 难度:9级算法题  收藏  关注 T(n) = n^k,S(n) = T(1) + T(2) + ...... T(n).给出n和k,求S(n).   例如k = 2,n = 5,S(n) = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = 55. 由于结…

题目描述: The Sum of the k-th Powers time limit per test 2 seconds memory limit per test 256 megabytes input standard input output standard output There are well-known formulas: , , . Also mathematicians found similar formulas for higher degrees. Find th…

题意 求 $ \displaystyle \sum_{i=1}^n i^k \ mod (1e9+7), n \leq 10^9, k \leq 10^6$. CF622F 分析 易知答案是一个 $k+1$ 次多项式,我们找 $k+2$ 个值代进去,然后拉格朗日插值. $n+1$ 组点值对 $(x_i, y_i)$,得到 $n$ 次多项式 $f$ 的拉格朗日插值公式为: $$f(x) = \sum_{i = 0}^n y_i\prod_{j\not =i} \frac{x-x_j}{x_i-x_…

HDU 2254 奥运(矩阵高速幂+二分等比序列求和) ACM 题目地址:HDU 2254 奥运 题意:  中问题不解释. 分析:  依据floyd的算法,矩阵的k次方表示这个矩阵走了k步.  所以k天后就算矩阵的k次方.  这样就变成:初始矩阵的^[t1,t2]这个区间内的v[v1][v2]的和.  所以就是二分等比序列求和上场的时候了. 跟HDU 1588 Gauss Fibonacci的算法一样. 代码: /* * Author: illuz <iilluzen[at]gmail.com>…

题面 传送门 题解 肝了整整一天--膜拜yww和cx巨巨--(虽然它们的题解里我就没看懂几个字) 请备好草稿纸和笔,这种题目就是需要耐心推倒 题目所求是这么一个东西 \[ \begin{aligned} ans &=\sum_{i=1}^n\sum_{x_1=1}^i\sum_{x_2=1}^i...\sum_{x_k=1}^ilcm(\gcd(i,x_1),\gcd(i,x_2),...,\gcd(i,x_k))\\ &=\sum_{i=1}^n\sum_{x_1=1}^i\sum_{x…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2655 先设 f[i][j] 表示长度为 i 的序列,范围是 1~j 的答案: 则 f[i][j] = f[i-1][j-1] * i * j + f[i][j-1],分别是选不选 j,选 j 的话放在哪个位置: 看不出次数...据说这是个最高次数为 2i 的多项式,感性理解... 知道了次数,就可以用拉格朗日插值算了,DP得到比较小的 2*n+1 个值,即可算出 x=A 的答案. 代码如下…

传送门 设\(dp[i][j]\)为考虑\(i\)个数,其中最大值不超过\(j\)的答案,那么转移为\[dp[i][j]=dp[i-1][j-1]\times i\times j+dp[i][j-1]\] 即最大值不超过\(j-1\)的答案加上最大值刚好为\(j\)的答案,乘上\(i\)是因为\(j\)可以放在\(i\)个数里随便哪个位置 考虑把转移拆开\[dp[i][j]=\sum_{k=0}^{j-1}dp[i-1][k]\times i\times (k+1)\] 如果把\(i\)看成列,…

拉格朗日插值 插值真惨 众所周知$k+1$个点可以确定一个$k$次多项式,那么插值就是通过点值还原多项式的过程. 设给出的$k+1$个点分别是$(x_0,y_0),(x_1,y_1),...,(x_k,y_k)$,那么xjb构造一下: 设函数$f_i(x)=\frac{\prod\limits_{j\neq i}(x-x_j)}{\prod\limits_{j\neq i}(x_i-x_j)}\times y_i$ 显然这个函数当$x=x_i$时值为$y_i$,$x=x_j(0\leq j\le…

[洛谷5437][XR-2]约定(拉格朗日插值) 题面 洛谷 题解 首先发现每条边除了边权之外都是等价的,所以可以考虑每一条边的出现次数. 显然钦定一条边之后构成生成树的方案数是\(2*n^{n-3}\).可以直接\(purfer\)序列算. 也可以发现每一条边的出现次数相等,树的总数是\(n^{n-2}\),每次出现\(n-1\)条边,每条边又是等价的. 也可以算出上面这个值. 于是要算的东西就变成了 \[\displaystyle \sum_{i=1}^n\sum_{j=i+1}^n(i+j…

1. 数学原理 对某个多项式函数有已知的k+1个点,假设任意两个不同的都互不相同,那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为: 其中每个lj(x)为拉格朗日基本多项式(或称插值基函数),其表达式为: 2. 轻量级实现 利用 直接编写程序,可以直接插值,并且得到对应的函数值.但是不能得到系数,也不能对其进行各项运算. def h(x,y,a): ans=0.0 for i in range(len(y)): t=y[i] for j in range(len(y)): if i !=j:…

LINK:P5667 拉格朗日插值2 给出了n个连续的取值的自变量的点值 求 f(m+1),f(m+2),...f(m+n). 如果我们直接把f这个函数给插值出来就变成了了多项式多点求值 这个难度好像有点大. 不妨 直接考虑拉格朗日插值. 设此时要求f(k) 那么则有 \(\sum_{i=0}^nf(i)\frac{\Pi_{i\neq j}(k-j)}{\Pi_{i\neq j} (i-j)}\) 可以化简一下 \(f(k)=\sum_{i=0}^nf(i)\frac{ \Pi_{i\neq…

正题 题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/115/problem/3 题目大意 两个长度为\(n+1\)的序列\(a,b\) \(a_i\)表示涂了\(i\)个格子的可以获得的价值. \(b_i\)表示恰好用\(i\)种颜色图最多\(n\)个格子可以获得的总价值. 给出序列\(b\),求序列\(a\) \(n\in[1,10^5]\),所有运算在\(\% 998244353\)意义下. 解题思路 定义\(c_i\)表示用\(i\)种颜色(不需要都用)时的价…

题意:给定一个含n个元素的序列,求下式子的结果.S(i,j)表示为seq[i...j]之和.注:对于log20可视为1.数据量n<=105. 思路:即使能够在O(1)的时间内求得任意S,也是需要O(n*n)来求和的. 对于这种题,一般就是研究式子,看有什么办法可以减少复杂度. 看到式子中的向下取整符号了吗?很多数的取整结果是相同的,即使给个2147483647取整也只是30多而已(噗,忘了多少). 而对于这个式子,S最大也不会超过longlong,确切计算,小于234.那么取log之后的范围这么…

The Sum of the k-th Powers There are well-known formulas: , , . Also mathematicians found similar formulas for higher degrees. Find the value of the sum modulo 109 + 7 (so you should find the remainder after dividing the answer by the value 109 + 7).…

1258 序列求和 V4 题意:求\(S_m(n) = \sum_{i=1}^n i^m \mod 10^9+7\),多组数据,\(T \le 500, n \le 10^{18}, k \le 50000\) 等幂求和 多项式求逆元\(O(mlogm)\)预处理伯努利数,然后可以\(O(m)\)回答 因为是任意模数,所以要用拆系数fft 拆系数fft+多项式求逆元,写的爽死了 具体内容可能会写学习笔记 注意: 多项式求逆元里拆系数,不能只更新 .x= ,这样的话y还保留以前的值就错了 因为使用…

常系数齐次线性递推 具体记在笔记本上了,以后可能补照片,这里稍微写一下,主要贴代码. 概述 形式: \[ h_n = a_1 h_{n-1}+a_2h_{n-2}+...+a_kh_{n-k} \] 矩阵乘法是\(O(k^3 \log n)\) 利用特征多项式可以做到\(O(k^2\log n)\) 特征多项式 特征值和特征向量 特征多项式 \[ f(\lambda) = \mid M - \lambda I\mid \] 是关于\(\lambda\)的\(n\)次多项式 根据\(Cayley-…

private static void QuictSort(int[] zu, int left, int right) { if (left < right) { ; ; ]; while (true) { while (i<right && zu[i]<mid) { i++; } while (j > left && zu[j] > mid) { j--; } if (i == j) { break; } int temp = zu[i];…

传送门 题面图片真是大到离谱-- 题目要求的是 \(\begin{align*}\sum\limits_{i=1}^N i^d[gcd(i,n) == 1] &= \sum\limits_{i=1}^N i^d \sum\limits_{p \mid gcd(i,n)} \mu(p) \\ &= \sum\limits_{p|n} \mu(p) p^d \sum\limits_{i=1}^{\frac{n}{p}} i^d\end{align*}\) 然后就不会做了qwq,后面的自然数次幂…

[Luogu4781][模板]拉格朗日插值 题面 洛谷 题解 套个公式就好 #include<cstdio> #define ll long long #define MOD 998244353 #define MAX 2020 inline int read() { int x=0;bool t=false;char ch=getchar(); while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar(); if(ch=='-')t=t…

P4781 [模板]拉格朗日插值 证明 :https://wenku.baidu.com/view/0f88088a172ded630b1cb6b4.html http://www.ebola.pro/article/notes/Lagrange #include<bits/stdc++.h> using namespace std; #define mod 998244353 #define ll long long #define maxn 2345 ll n,k,x[maxn],y[ma…

BZOJ 洛谷 为什么已经9点了...我写了多久... 求方案数,考虑DP... \(f[i][j]\)表示到第\(i\)门课,还有\(j\)人会被碾压的方案数. 那么\[f[i][j]=\sum_{k=j}^{n-1}f[i-1][k]\times C_k^{k-j}\times C_{n-1-k}^{R_i-1-(k-j)}\times g[i]\] 就是先从\(k\)人中选出\(k-j\)在\(i\)这门课比B神得分高,然后再从剩下\(n-1-k\)个人中选\(R_i-1-(k-j)\)个…