思路 polya定理的模板题,但是还要加一些优化 题目的答案就是 \[ \frac{\sum_{i=1}^n n^{gcd(i,n)}}{n} \] 考虑上方的式子怎么求 因为\(gcd(i,n)\)肯定有很多重复,枚举\(gcd(i,n)\),因为\(gcd(i,n)\)是\(n\)的约数,所以枚举约数 \[ \begin{align}&\sum_{d|n}^nn^d\sum_{k=1}^n[gcd(n,k)=d]\\=&\sum_{d|n}^nn^d\sum_{k=1}^{\lfloo…

题目大意:给一个$n$个点的环染色,有$n$中颜色,问有多少种涂色方案是的旋转后本质不同 题解:$burnside$引理:$ans=\dfrac1{|G|}\sum\limits_{g\in G}A_g$ 对于环,有$Polya$定理:$ans=\dfrac1{|G|}\sum\limits_{g\in G}m^{c(g)}$($m$为颜色数,在这道题中$m=n$,$c(g)$为置换$g$中循环个数) 因为是循环相同,所以$|G|=n$,当$g=\left(\begin{smallmatrix}…

提示: 本文并非严谨的数学分析,有很多地方是自己瞎口胡的,仅供参考.有错误请不吝指出 :p 1. 群 1.1 群的概念 群 \((S,\circ)\) 是一个元素集合 \(S\) 和一种二元运算 $ \circ $ 的合称,其满足以下性质. 封闭性 对于 \(\forall a,b \in S\) , \(\exist c \in S\) 使得 \(c = a \circ b\) 结合律 对于 \(\forall a,b,c \in S\) , \(a \circ (b \circ c) = (…

小可可在课余的时候受美术老师的委派从事一项漆绘瓷砖的任务.首先把n(n+1)/2块正六边形瓷砖拼成三角形的形状,右图给出了n=3时拼成的“瓷砖三角形”.然后把每一块瓷砖漆成纯白色或者纯黑色,而且每块瓷砖的正.反两面都必须漆成同样的颜色. 有一天小可可突发奇想,觉得有必要试试看这些瓷砖究竟能够漆成多少种本质不同的图案.所谓两种图案本质不同就是其中的一种图案无论如何旋转.或者翻转.或者同时旋转和翻转都不能得到另外一种图案. 旋转是将瓷砖三角形整体顺时针旋转120度或240度. 翻转是将瓷砖三角形整体…

参考了http://blog.csdn.net/ACM_cxlove?viewmode=contents           by---cxlove 的模板 对于每一种染色,都有一个等价群,例如旋转,翻转等.我们将每一种变换转换成一个置换群,通过置换群得到的都是等价的染色方案 最终我们要求的是非等价的染色方案数. 在Burnside定理中给出,在每一种置换群也就是等价群中的数量和除以置换群的数量,即非等价的着色数等于在置换群中的置换作用下保持不变的着色平均数. 我们以POJ 2409 Let i…

Beads of red, blue or green colors are connected together into a circular necklace of n beads ( n < 24 ). If the repetitions that are produced by rotation around the center of the circular necklace or reflection to the axis of symmetry are all neglec…

题目:http://poj.org/problem?id=1286 真·Polya定理模板题: 写完以后感觉理解更深刻了呢. 代码如下: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; typedef long long ll; int n; ll ans; ll pw(ll a,int b) { ll ret=; ,a*=a) )ret*=a; return ret;…

题目:http://poj.org/problem?id=2154 今天学了个高端的东西,Polya定理... 此题就是模板,然而还是写了好久好久... 具体看这个博客吧:https://blog.csdn.net/wsniyufang/article/details/6671122 代码如下: #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; ; int X,n,p,p…

http://poj.org/problem?id=1286 题意:求用3种颜色给n个珠子涂色的方案数.polya定理模板题. #include <stdio.h> #include <math.h> long long gcd(long long a,long long b) { return b?gcd(b,a%b):a; } int main() { long long n; while(~scanf("%lld",&n)) { ) break;…

Necklace of Beads Description Beads of red, blue or green colors are connected together into a circular necklace of n beads ( n < 24 ). If the repetitions that are produced by rotation around the center of the circular necklace or reflection to the a…