\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定长度为 \(n\),包含 A, B, C 三种字符的字符串 \(S\),定义一次操作为将其中相邻两个不相同的字符替换为字符集中不同于这两个字符的另一种字符.求任意次操作后得到的不同字符串个数,答案对 \(10^9+7\) 取模.   \(n\le10^6\). \(\mathcal{Solution}\)   我们希望探究此种替换操作的结合性,trick 为将字符集替换为数字集,将操作表达为数字间的运算.对于本题,令 A…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定整数序列 \(\{a_n\}\),对于整数序列 \(\{b_n\}\),\(b_i\) 在 \([1,a_i]\) 中等概率随机.求 \(\{b_n\}\) 中 LIS(最长上升子序列)的期望长度.对 \(10^9+7\) 取模.   \(n\le6\),\(a_i\le10^9\). \(\mathcal{Solution}\)   欺负这个 \(n\) 小得可爱,直接 \(\mathcal O(n!)\) 枚举 \(…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   有 \(n\) 个小球,坐标为 \(x_{1..n}\):还有 \(m\) 个洞,坐标为 \(y_{1..m}\),保证上述坐标两两不同.每次操作可以将所有小球向左或向右平移一个单位,若有小球的坐标与洞重合则掉进洞内.求所有小球都进洞时有多少种不同的状态.答案对 \((10^9+7)\) 取模.   \(n,m\le10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   ARC 的题嘛--都这副德行.(   不考虑…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定非负整数序列 \(\{a_n\}\),设 \(\{b_n\}\) 是一个非负整数序列且 \(\sum_{i=1}^nb_i\le m\),求 \[\sum_{\{b_n\}}\prod_{i=1}^n\binom{b_i}{a_i}\bmod(10^9+7) \]   \(n,a_i\le2\times10^3\). \(\mathcal{Solution}\)   鉴于这是 ARC D,可以直观感受到是一个代码不长的组…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   有 \(n\) 个人站成一个环,初始时第 \(i\) 个人手里有 \(a_i\) 个球.第 \(i\) 个人可以将自己手中任意数量的求给第 \(i+1\) 个人,第 \(n\) 个人则可以给第 \(1\) 个人.设所有人同时进行一次传球后,第 \(i\) 个人手里有 \(b_i\) 个球,并令 \(B\) 为所有可能的 \(\lang b_n\rang\) 构成的集合,求 \[ \sum_{\lang b_n \rang\i…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定序列 \(\{a_n\}\),定义一次操作为: 选择 \(a_i<a_j\),以及一个 \(x\in\mathbb R_+\),使得 \(a_i+x\le a_j-x\): 令 \(a_i\leftarrow a_i+x,a_j\leftarrow a_j-x\),本次操作的得分为 \(x\).   定义序列的得分为进行任意次操作能得到的最大得分和,现给定 \(m\) 次形如 \(a_x\leftarrow y\) 的修…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定 \(\{x_n\}\),令 \[f(k)=\left|\{(a,b,c)\mid a,b\in[0,c),c\in[1,k],\left(\forall i\in[1,n),(ax_i+b)\bmod c<(ax_{i+1}+b)\bmod c\right)\}\right| \] 求出 \[\lim_{k\rightarrow+\infty}\frac{f(k)}{k^3}\bmod 998244353. \]   …

\(\mathcal{Description}\)   Link.   给定含有 \(n\) 个结点的树,求非负整数对 \((x,y)\) 的数量,满足存在 \(\exist S\subseteq V,~|S|=x\land\sum_{u\in S}d_u=y\),其中 \(d_u\) 表示点 \(u\) 的度数.   \(n\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   方便期间,以下所有 \(d_u\) 表示 \(u\) 的度数 \(-1\).   出题…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   把 \(n\) 种零食分给 \(m\) 个人,第 \(i\) 种零食有 \(a_i\) 个:第 \(i\) 个人得到同种零食数量不超过 \(b_i\),总数量不超过 \(c_i\),求最多分出的零食数量.   \(n,m\le2\times10^5\). \(\mathcal{Solution}\)   很容易看出这是网络流模型: 源点 \(S\) 连向每种零食 \(i\),容量 \(a_i\): 零食 \(i\) 连向人…

\(\mathcal{Description}\)   Link.   称一个正整数序列为"俳(pái)句",当且仅当序列中存在连续一段和为 \(x\),紧接着连续一段和为 \(y\),再紧接着连续一段和为 \(z\),其中 \(x,y,z\) 为给定正整数.计数长度为 \(n\),元素大小不超过 \(10\) 的俳句.   \(n\le40\),\(x+y+z\le17\). \(\mathcal{Solution}\)   通过俳句的特征(连续三段和的限制)来正向计数会重复:一个俳…