博弈论(一):Nim游戏 重点结论:对于一个Nim游戏的局面(a1,a2,...,an),它是P-position当且仅当a1^a2^...^an=0,其中^表示位异或(xor)运算. Nim游戏是博弈论中最经典的模型(之一?),它又有着十分简单的规则和无比优美的结论,由这个游戏开始了解博弈论恐怕是最合适不过了. Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种,准确来说,属于“Impartial Combinatorial Games”(以下简称ICG).满足以下条件的游戏…

Nim游戏是组合游戏(Combinatorial Games)的一种,属于“Impartial Combinatorial Games”(以下简称ICG). 通常的Nim游戏的定义是这样的:有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)”,如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何合法的移动).         我们都知道,对于N堆石子,判断第一个人是否赢是将每个石子进行异或运算,如果结果为0则第一个人取得必输,否则必赢.…

说实话,我真的对这个游戏看得是一脸懵逼,因为(我太弱了)我没有明白一些变量的意思,所以一直很懵,现在才明白,这让我明白博弈论(还可以骗钱)博大精深; 以下是我自己思考的过程,也许不严谨,但是最终明白了. 这里只是粗略地介绍Nim游戏,一个入门博客,以来更好地进入SG函数(因为我才刚学 游戏简介 背景故事我就不说了,直接介绍游戏规则. 有n堆物品,每堆有$a_{i}$个物品,两个玩家每次可以任选一堆挑出任意整数个物品(可以整堆取完),但不能不取,取走最后一个物品的为胜者. 这个游戏历史久远,曾用来…

说到自己,就是个笑话.思考问题从不清晰,sg函数的问题证明方法就在眼前可却要弃掉.不过自己理解的也并不透彻,做题也不太行.耳边时不时会想起alf的:"行不行!" 基本的小概念 这里我们讨论的是公平游戏(ICG游戏:Impartial Combinatorial Games),满足: 1.双方每步的限制相同(轮流) 2.游戏有尽头 对于当前局面的玩家如果能有必胜策略,那就是N局面(反之,P局面) SG函数 每一种决策以及后面的所有可能可以抽象成有向无环图,而sg函数的计算就类似图上dp的…

题目链接 \(Description\) 1堆石子有n个.两人轮流取.先取者第1次可以取任意多个,但不能全部取完.以后每次取的石子数不能超过上次取子数的2倍,取完者胜.问谁能赢. \(Solution\) 斐波那契博弈(Fibonacci Nim) 结论: 后手必胜当且仅当石子数为Fibonacci数 证明见: http://blog.csdn.net/dgq8211/article/details/7602807 #include <cstdio> const int INF=0x7ffff…

引入 在许多地方曾流行过这样一个小游戏:摆出三堆硬币,分别包含3枚,5枚,7枚.两人轮流行动,每次可任选一堆,从中取走任意多枚硬币,可把一堆取光,但不能不取,取走最后一枚硬币者获胜. 概念 \(先手:\)当前行动的一方 \(局面:\)面临的游戏状态 \(必败:\)指在当前局面下无论采取什么策略,都会输掉游戏 \(先手必胜:\)指当前局面下,采取最优策略能让对手面临必败局面的状态 \(Nim游戏:\)给定\(n\)堆物品,第\(i\)堆有\(A_{i}\)个,两名玩家轮流行动,每次可任选一堆,取走…

百度百科 Definition 这样的游戏被称为Nim游戏: 1.有两个玩家,轮流进行操作 2.是公平游戏.即面对同一局面两个玩家所能进行的操作是相同的.例如中国象棋不是公平游戏.因为面对同一个局面,红方只能移动红色棋子而不能移动黑方棋子,黑房同理. 3.一个玩家是输掉当且仅当他无法进行操作.例如如果是两个人轮流取石子的游戏,那么一个玩家输掉当且仅当他面前没有石子了.因为他下面无法进行取石子的操作. 一般的,Nim游戏指两个玩家轮流在好几堆东西中取物品,不能夸堆取,无法操作判负. Solutio…

今天A了张子苏大神的的题,感觉神清气爽. 一篇对于多层nim博弈讲的很透彻的博文:http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?fid=9&tid=10617 我来整理一下: 问题1:今有若干堆火柴,两人依次从中拿取,规定每次只能从一堆中取若干根, 可将一堆全取走,但不可不取,最后取完者为胜,求必胜的方法.  定义:若所有火柴数异或为0,则该状态被称为利他态,用字母T表示:否则, 为利己态,用S表示. 注意:这篇博文是先定义s和t,再通过它们的性质推出结论. [定理1…

首先可以把问题转化一下:m堆石子,一共石子数不超过(n-m)颗,每次可以将一堆中一些石子推向前一堆,无法操作则失败,问有多少种方法使得先手必胜? 然后这个显然是个阶梯Nim,然后有这样的结论:奇数层异或和为0.具体证明:参考这篇博客,当然不是我写的.如果不知道结论,里面有例题POJ1704可以做一下. 然后直接DP显然会T飞,考虑一个按位DP的技巧,f[i][j]表示确定前i位异或起来为0,剩下j个棋子的方案数.组合数相乘转移,注意一些细节即可.复杂度O(nmlogn) #include<bit…

本文始发于个人公众号:TechFlow,原创不易,求个关注 今天是算法与数据结构专题26篇文章,我们来看看一个新的博弈论模型--Nim取子问题. 这个博弈问题非常古老,延续长度千年之久,一直到20世纪初才被哈佛大学的一个数学家找到解法,可见其思维的难度.但是这个问题本身却很有意思,推导的过程更是有趣,哪怕你没有多少数据基础也一定可以看明白. Nim取子问题 这个问题的题面是这样的,我们有3堆石子,有A和B两个人轮流从其中的一堆取石子.规定每个人每次最少取1颗,最多可以取完当前堆,无法继续拿取石子…