详情见代码,回头再填坑... #include<iostream> #include<cstdio> #include<algorithm> #include<cstring> #define int long long #define p 1000000007 using namespace std; int n,m; ],su[],pr[],cnt; void shai() { phi[]=; ;j<=;j++) { ,su[++cnt]=j,pr…

Dirichlet 卷积是两个定义域在正整数上的函数的如下运算,符号为 $*$ $(f * g)(n) = \sum_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$ 如果不强调 $n$ 可简写为 $f * g$ 常用: $\mu * 1 = \epsilon$ $\phi * 1 = id$ $\epsilon(n) = [n=1]$ $id(n)=n$ Mobius 反演是基于 Dirichlet 卷积的一种....化简式子的方法? 比较有用的结论就是 $\mu * 1 = [n=1]$ 由…

题意:bc round 72 中文题面 分析(官方题解): 如果学过Dirichlet卷积的话知道这玩意就是g(n)=(f*1^k)(n), 由于有结合律,所以我们快速幂一下1^k就行了. 当然,强行正面刚和式也是能搞的(反正我不会). 一次Dirichlet卷积复杂度是O(nlogn)的,所以总时间复杂度为O(nlognlogk). 注:普及Dirichlet卷积概念,设f,g为两个数论函数, 那么规定 (f∗g)=∑d|nf(d)g(n/d)为f,g的Dirichlet卷积 Dirichle…

简单积性函数 在学习欧拉函数的时候,相信读者对积性函数的概念已经有了一定的了解.接下来,我们将相信介绍几种简单的积性函数,以备\(dirichlet\)卷积的运用. 定义 数论函数:在数论上,对于定义域为正整数,值域为复数的函数,我们称之为数论函数. 积性函数:对于数论函数\(f\),若满足\(gcd(a,b)=1\)时,有\(f(ab)=f(a)f(b)\),则称函数\(f\)为积性函数 简单积性函数 约数个数函数 \[\tau(n)=\sum_{k|n}1\] 约数和函数 \[\sigma(…

Dirichlet 卷积学习笔记 数论函数:数论函数亦称算术函数,一类重要的函数,指定义在正整数集上的实值或复值函数,更一般地,也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数. 然而百科在说什么鬼知道呢,感性理解一下,数论函数的定义域是正整数,值域也是正整数. 数论函数的相关运算与性质 设有数论函数\(\bf{h,f,g}\). 加法运算 \((\mathbf {f}+\mathbf {g})(n)=\mathbf {f}(n)+\mathbf {g}(n)\) 即每项相加 数乘运算 \((x\ma…

转载自https://oi-wiki.org/math/mobius/ 积性函数 定义 若 $gcd(x,y)=1$ 且 $f(xy)=f(x)f(y)$,则 $f(n)$ 为积性函数. 性质 若 $f(x)$ 和 $f(y)$ 均为积性函数,则以下函数为积性函数: $h(x) = f(x^p)$ $h(x) = f^p(x)$ $h(x) = g(x)f(x)$ $h(x) = \sum_{d|x} f(d)g(\frac{x}{d})$ 后面两条性质非常重要,会经常用.它说明了两个积性函数的…

hdu 5628 Clarke and math 题意 Given f(i),1≤i≤n, calculate \(\displaystyle g(i) = \sum_{i_1 \mid i} \sum_{i_2 \mid i_1} \sum_{i_3 \mid i_2} \cdots \sum_{i_k \mid i_{k-1}} f(i_k) \text{ mod } 1000000007 \quad (1 \le i \le n)\) 题解 Dirichlet convolution -w…

要求$ans=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m (n-i)(m-j)(gcd(i,j)-1)$ 可以看做枚举矩阵的大小,然后左下右上必须取的方案数. 这是斜率单增的情况 然后大力反演即可. 最后$ans=ans*2+C(n,3)*m+C(m,3)*n$ $\Theta (n \log n)$ #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm&g…

下文中所有讨论都在数论函数范围内开展. 数论函数指的是定义域为正整数域, 且值域为复数域的函数. 数论意义下的和式处理技巧 因子 \[ \sum_{d | n} a_d = \sum_{d | n} a_{\frac n d} \] 双重因子 \[ \sum_{k | n} \sum_{j | k} a_{k, j} = \sum_{k | n} \sum_{j | \frac n k} a_{jk, k} \] \[ \sum_{n | k} \sum_{k | j} a_{k, j} = \…

2190: [SDOI2008]仪仗队 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 259 MBSubmit: 2689  Solved: 1713[Submit][Status][Discuss] Description 作为体育委员,C君负责这次运动会仪仗队的训练.仪仗队是由学生组成的N * N的方阵,为了保证队伍在行进中整齐划一,C君会跟在仪仗队的左后方,根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图).    现在,C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数.…