Problem E: [Sdoi2013]项链 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 512 MBSubmit: 427  Solved: 146[Submit][Status][Discuss] Description 项链是人体的装饰品之一,是最早出现的首饰.项链除了具有装饰功能之外,有些项 链还具有特殊显示作用,如天主教徒的十字架链和佛教徒的念珠. 从古至今人们为了美化人体本身,也美 化环境,制造了各种不同风格,不同特点.不同式样的项链,满足了不同肤色.不同民…

Description 项链是人体的装饰品之一,是最早出现的首饰.项链除了具有装饰功能之外,有些项 链还具有特殊显示作用,如天主教徒的十字架链和佛教徒的念珠. 从古至今人们为了美化人体本身,也美 化环境,制造了各种不同风格,不同特点.不同式样的项链,满足了不同肤色.不同民族.不同审美观的人的审美需要.就材料而论,首饰市场上的项链有黄金.白银.珠宝等几种.珍珠项链为珍珠制成的饰品,即将珍珠 钻孔后用线串在一起,佩戴于项间.天然珍珠项链具有一定的护养作用.   最近,铭铭迷恋上了一种项链.与其他珍珠…

思路:首先考虑如何求珠子个数,一个珠子由a,b,c三个数组成且属于区间[1,a],并满足gcd(a,b,c)=1.由于要求本质相同,对于a,b,c这样的一个无序的数列且满足gcd(a,b,c)=1,设其总方案数为t1,那么显然本质相同的重复了6次,即(a,b,c),(a,c,b),(b,a,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),所以要将t1/=6,但如果存在两个数相同,这样的其实只出现了三次,因此还要加上3*这样的情况(设其为t2)的方案数,同时可能有三个相同,这样的情况只可能是…

传送门 思路 很明显的一个思路:先搞出有多少种珠子,再求有多少种项链. 珠子 考虑这个式子: \[ S3=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^a\sum_{k=1}^a [\gcd(i,j,k)==1] \] 显然可以莫比乌斯反演一波,但这个是对的吗? 当有两个数字相同时只被算了3遍,而三个都相同的只被算了一遍. \[ S2=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^a [\gcd(i,j)==1] \] 显然有\(S1=1\),那么就会得到最终答案: \[ ans=\frac…

description luogu 最近,铭铭迷恋上了一种项链.与其他珍珠项链基本上相同,不过这种项链的珠子却与众不同,是正三菱柱的泰山石雕刻而成的. 三菱柱的侧面是正方形构成的,上面刻有数字. 能够让铭铭满意的项链必须满足下面的条件: 这串项链由\(n\)颗珠子构成的. 每一个珠子上面的数字\(x\),必须满足\(0<x\le a\),且珠子上面的数字的最大公约数要恰 好为\(1\).两个珠子被认为是相同的,当且仅当他们经过旋转,或者翻转后能够变成一样的. 相邻的两个珠子必须不同. 两串项链如…

题目传送门:洛谷P3307.这题在bzoj上是权限题. 题意简述: 这题分为两个部分: ① 有一些珠子,每个珠子可以看成一个无序三元组.三元组要满足三个数都在$1$到$m$之间,并且三个数互质,两个珠子不同当且仅当这个三元组不同.计算有多少种不同的珠子. ② 把这些珠子串成一个环,要满足相邻的珠子不同.两个环不同当且仅当旋转任意角度后仍然不同.计算有多少种不同的环. 题解: 分成两部分做. 第一部分: 考虑计算三元组的个数,转无序为有序,再去重. 答案=(三个都不同的有序三元组方案)/6+(两个…

传送门 求每个珠子的方案数 即有序的求三元组 \((x,y,z),x,y,z\le a\) 满足 \(gcd(x,y,z)=1\) 设 \(G_i\) 表示 \(i\) 个小于等于 \(a\) 的有序数字,满足 \(gcd=1\) 的方案数 容斥得到要求的 \[\frac{1}{6}(G_3+2G_2+3G_1)\] 然后 \(G_1=1\) 运用简单莫比乌斯反演得到 \[G_2=\sum_{i=1}^{a}\lfloor\frac{a}{i}\rfloor^2\mu(i)\] \[G_3=\s…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3202 可见Zinn博客:https://www.cnblogs.com/Zinn/p/10073897.html 关于算有序三元组那个部分,自己觉得是这样解释: 这样标号的话,旋转置换有2个:(1,2,3)和(1,3,2): 不动的话是一个置换:(1)(2)(3): 翻转的话,贴着一个侧面所在的面上下翻转,就是三个置换:(1)(2,3).(2)(1,3).(3)(1,2).根据Polya定…

题面传送门 看到题目我们显然可以将题目拆分成两部分:首先求出有多少个符合要求的珠子 \(c\),这样我们就可以将每种珠子看成一种颜色,题目也就等价于有多少种用 \(c\) 种颜色染长度为 \(n\) 的环的方法,满足相邻格子颜色不同,可以通过旋转重合的染色方案算同一种,这就是题目的第二部分.显然两部分是独立的,因此可以分开来计算. 首先考虑怎样求出 \(c\) 的值,注意到这里涉及 \(\gcd\),故可以套路地想到莫比乌斯反演,记 \(f(i)\) 为珠子上三个数 \(\gcd\) 恰好为 \…

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