(2012北大保送)已知$f(x)$是二次函数,且$a,f(a),f(f(a)),f(f(f(a)))$是正项等比数列;求证:$f(a)=a$ 构造二次函数$f(x)=qx$,则$a,f(a),f(f(a))$是该二次函数的三个根,故他们当中必有两个相等,从而易得$q=1$,故$f(a)=a$…

这种构造二次函数的方法最早接触的应该是在证明柯西不等式时: 再举一例: 最后再举个反向不等式的例子: 评:此类题目的证明是如何想到的呢?他们都有一个明显的特征$AB\ge(\le)C^2$,此时构造二次函数利用$\Delta$证明,效果非常理想.…

评:b+c,bc好比向量里的一组基底,可以将关于b,c的对称式表示出来.…

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5531 Problem Description Archaeologists find ruins of Ancient ACM Civilization, and they want to rebuild it. The ruins form a closed path on an x-y plane, which has n endpoints. The endpoints locate on (…

Gradient Descent 机器学习中很多模型的参数估计都要用到优化算法,梯度下降是其中最简单也用得最多的优化算法之一.梯度下降(Gradient Descent)[3]也被称之为最快梯度(Steepest Descent),可用于寻找函数的局部最小值.梯度下降的思路为,函数值在梯度反方向下降是最快的,只要沿着函数的梯度反方向移动足够小的距离到一个新的点,那么函数值必定是非递增的,如图1所示. 梯度下降思想的数学表述如下: b=a−α∇F(a)⇒f(a)≥f(b)(1)(1)b=a−α∇F…

Gradient Descent 机器学习中很多模型的参数估计都要用到优化算法,梯度下降是其中最简单也用得最多的优化算法之一.梯度下降(Gradient Descent)[3]也被称之为最快梯度(Steepest Descent),可用于寻找函数的局部最小值.梯度下降的思路为,函数值在梯度反方向下降是最快的,只要沿着函数的梯度反方向移动足够小的距离到一个新的点,那么函数值必定是非递增的,如图1所示. 梯度下降思想的数学表述如下: \begin{equation} b=a-\alpha \nabl…

这一系列文章将围绕以太坊的二层扩容框架 Plasma,介绍其基本运行原理,具体操作细节,安全性讨论以及未来研究方向等.本篇文章主要介绍在 Plasma 框架下的项目 Plasma Cash. 在上一篇文章中我们已经理解了 Plasma 的最小实现 Plasma MVP 如何使用 UTXO 模型实现 Plasma 链下扩容的核心思想.但由于 Plasma MVP 本身过于简单,并不能用于实际的生产环境中.2018 年 3 月,在巴黎举行的以太坊开发者大会上,Vitalik 发布了 Plasma C…

由于<深入理解Android 卷一>和<深入理解Android卷二>不再出版,而知识的传播不应该由于纸质媒介的问题而中断,所以我将在CSDN博客中全文转发这两本书的全部内容. 第7章  深入理解Audio系统 本章主要内容 ·  具体分析AudioTrack. ·  具体分析AudioFlinger. ·  具体分析AudioPolicyService. 本章涉及的源代码文件名称及位置 以下是本章分析的源代码文件名称及其位置. ·  AudioTrack.java framewor…

文章目录 拉格朗日插值公式 微分中值定理 费马引理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理 洛必达法则 连分数(NOI2021 D2T2 考点) 定义 结论 定理1 定理2 定理3 定理4 定理5 欧拉公式 正余弦的展开 虚数单位 整合 逆代 Binet-Cauchy 公式 [朝花夕拾] 柯西不等式 二维形式 向量形式 期望形式 积分形式 数论结论 缩系元素求积 因数闭合序列矩阵 拉格朗日插值公式 对于 n − 1 n-1 n−1 次多项式 f ( x ) f(x) f(x) 上的 n n n 个点 (…

已知二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$有零点,且$a+b+c=1$ 若$t=\min\{a,b,c\}$求$t$的最大值. 分析:由$a,c$的对称性,不妨$c\ge a$即$2a+b\le1$则$t=\min\{a,b\}$.由$b^2\ge4ac$得$(2a+b)^2\ge4a $,由于求$t$的最大值,只需考虑$a,b>0$(不然则$t=\min\{a,b\}\le0$)此时由$(2a+b)^2\ge4a $得$1\ge4t$故$t\le\dfrac{1}{4},$当$a=\dfra…