51nod 1348 乘积之和 #include <cmath> #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> #include <map> #include <bitset> #include <set>…

Intro: 本篇博客将会从朴素乘法讲起,经过分治乘法,到达FFT和NTT 旨在能够让读者(也让自己)充分理解其思想 模板题入口:洛谷 P3803 [模板]多项式乘法(FFT) 朴素乘法 约定:两个多项式为\(A(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i,B(x)=\sum_{i=0}^{m}b_ix^i\) Prerequisite knowledge: 初中数学知识(手动滑稽) 最简单的多项式方法就是逐项相乘再合并同类项,写成公式: 若\(C(x)=A(x)B(x)\),那么\(C(x…

[简介] 快速傅里叶变换(FFT)运用了单位复根的性质减少了运算,但是每个复数系数的实部和虚部是一个余弦和正弦函数,因此系数都是浮点数,而浮点数的运算速度较慢且可能产生误差等精度问题,因此提出了以数论为基础的具有循环卷积性质的快速数论变换(NTT). 在FFT中,通过$n$次单位复根即$\omega^n=1$的$\omega$来运算,而对于NTT来说,则是运用了素数的原根来运算. [原根] [定义] 对于两个正整数$a,m$满足$gcd(a, m)=1$,由欧拉定理可知,存在正整数$d\leq…

Huffman分治的NTT,常数一般.使用的时候把多项式的系数们放进vector里面,然后调用solve就可以得到它们的乘积.注意这里默认最大长度是1e6,可能需要改变. #include<bits/stdc++.h> using namespace std; typedef long long ll; int a[200005], b[200005], btop; const int MAXN = 1e6, MAXLOGN = 20, mod = 998244353; int add_mod…

先粘一个模板.这是求高精度乘法的 #include <bits/stdc++.h> #define maxn 1010 using namespace std; char s[maxn]; typedef long long ll; ll A[maxn], B[maxn]; const int md = 998244353, G = 3; int n; ll power_mod(ll a, ll b){ ll ret = 1; while(b > 0){ if(b & 1)ret…

http://172.20.6.3/Problem_Show.asp?id=2041 https://blog.csdn.net/ggn_2015/article/details/68922404 代码 https://blog.csdn.net/zz_1215/article/details/40430041 证明 这道题里只用快速幂就好了,抄的代码用的exgcd求的逆元,所以我也用的exgcd(权当复习了,exgcd倒推回去的时候记着只需要联立等式,每次自己推exgcd都会想太多……),其实…

NTT 在FFT中,我们需要用到复数,复数虽然很神奇,但是它也有自己的局限性--需要用double类型计算,精度太低 那有没有什么东西能够代替复数且解决精度问题呢? 这个东西,叫原根 原根 阶 若\(a,p\)互素,且\(p>1\), 对于\(a^n \equiv 1 \pmod{p}\)最小的\(n\),我们称之为\(a\)模\(p\)的阶,记做\(\delta_p(a)\) 例如: \(\delta_7(2)=3\), \(2^1 \equiv 2 \pmod{7}\) \(2^2 \equ…

FFT可以用来计算多项式乘法,但是复数的运算中含有大量的浮点数,精度较低.对于只有整数参与运算的多项式,有时,\(\text{NTT(Number-Theoretic Transform)}\)会是更好的选择. 原根 阶 若\(a,p\)互素,且\(p>1\),对于\(a^k \equiv 1 (\mod p)\)的最小的\(k\),称为\(a\)模\(p\)的阶,记做\(\sigma_p(a)\). \(E.g.\) \(\sigma_7(2)=3\) \(2^1\equiv 2(\mod 7…

原文链接https://www.cnblogs.com/zhouzhendong/p/Fast-Fourier-Transform.html 多项式 之 快速傅里叶变换(FFT)/数论变换(NTT)/例题与常用套路[入门] 前置技能 对复数以及复平面有一定的了解 对数论要求了解:逆元,原根,中国剩余定理 对分治有充足的认识 对多项式有一定的认识,并会写 $O(n^2)$ 的高精度乘法 本文概要 多项式定义及基本卷积形式 $Karatsuba$ 乘法 多项式的系数表示与点值表示,以及拉格朗日插值法…

一.简介 前置知识:多项式乘法与 FFT. FFT 涉及大量 double 类型数据操作和 \(\sin,\cos\) 运算,会产生误差.快速数论变换(Number Theoretic Transform,简称 NTT)在 FFT 的基础上,优化了常数及误差. NTT 其实就是把 FFT 中的单位根换成了原根. NTT 解决的是多项式乘法带模数的情况,可以说有些受模数的限制,多项式系数应为整数. 二.原根 与 NTT 「算法笔记」基础数论 2 中提及了原根的部分内容. 对于质数 \(p\),若…

NTT 先学习FFT 由于FFT是使用复数运算,精度并不好,而且也无法取模,所以有了NTT(快速数论变换). 建议先完全理解FFT后再学习NTT. 原根 NTT使用与单位根性质相似的原根来代替单位根. 定义:设\(m\)是正整数,\(a\)是整数,若\(a\)模\(m\)的阶等于\(φ(m)\),则称\(a\)为模\(m\)的一个原根. 如果你不知道阶 定义:对于\(an≡1(modp)an≡1(modp)\)最小的\(n\),我们称之为\(a\)模\(p\)的阶,记做\(δp(a)\) 如果你…

快速傅里叶变换 & 快速数论变换 [update 3.29.2017] 前言 2月10日初学,记得那时好像是正月十五放假那一天 当时写了手写版的笔记 过去近50天差不多忘光了,于是复习一下,具体请看手写版笔记 参考文献:picks miskcoo menci 阮一峰 Fast Fourier Transform 单位复数根 虚数 复数 \(i\),表示逆时针旋转90度 \(a+bi\),对应复平面上的向量 复数加法 同向量 复数乘法 "模长相乘,幅角相加",\((a+bi)*(…

相关知识 时间域上的函数f(t)经过傅里叶变换(Fourier Transform)变成频率域上的F(w),也就是用一些不同频率正弦曲线的加 权叠加得到时间域上的信号. \[ F(\omega)=\mathcal{F}[f(t)]=\int\limits_{-\infty}^\infty f(t)e^{-iwt}dt \] 傅里叶逆变换是将频率域上的F(w)变成时间域上的函数f(t),一般称\(f(t)\)为原函数,称\(F(w)\)为象函数.原函数和象函数构成一个傅里叶变换对. \[ f(t)…

今天的A题.裸的ntt,但我不会,于是白送了50分. 于是跑来学一下ntt. 题面非常easy.就懒得贴了,那不是我要说的重点. 重点是NTT,也称高速数论变换. 在非常多问题中,我们可能会遇到在模意义下的多项式乘法问题,这时传统的高速傅里叶变换可能就无法满足要求,这时候高速数论变换就派上了用场. 考虑高速傅里叶变换的实现,利用单位复根的特殊性质来降低运算.而利用的.就是dft变换的循环卷积特性. 于是考虑在模意义下相同具有循环卷积特性的东西. 考虑在模p意义下(p为特定的质数,满足p=c∗2n…

NTT裸模板,没什么好解释的 这种高深算法其实也没那么必要知道原理 #include <cstdio> #include <cstring> #include <algorithm> #define N (1<<17)+10 #define ll long long using namespace std; ll inv3,invl; int r[N]; ll A[N],B[N],C[N],mulwn[N],invwn[N]; char s1[N],s2[N…

具体步骤: 1.补0:在两个多项式最前面补0,得到两个 $2n$ 次多项式,设系数向量分别为 $v_1$ 和 $v_2$. 2.求值:用FFT计算 $f_1 = DFT(v_1)$ 和 $f_2=DFT(v_2)$.这里得到的 $f_1$ 和 $f_2$ 分别是两个输入多项式在 $2n$ 次单位根处的各个取值(即点值表示) 3.乘法:把两个向量 $f_1$ 和 $f_2$ 的每一维对应相乘,得到向量 $f$.它对应输入多项式乘积的点值表示. 4.插值:用FFT计算 $v=IDFT(f)$,其实…

先看看. 通常模数常见的有998244353,1004535809,469762049,这几个的原根都是3.所求的项数还不能超过2的23次方(因为998244353的分解). 感觉没啥用. #include <cstdio> #include <cstring> template <class T> inline void swap(T &a, T &b) { T c; c = a; a = b; b = c; } ; , G = ; inline in…

先要学会FFT[学习笔记]FFT——快速傅里叶变换 一.简介 FFT会爆精度.而且浮点数相乘常数比取模还大. 然后NTT横空出世了 虽然单位根是个好东西.但是,我们还有更好的东西 我们先选择一个模数,$const\space int\space p=998244353$ 设g为p的单位根.这里就是3 那么有:$(\omega_n^1)^n = g^{p-1}=1\space mod \space p$ 那么,假设$x=(\omega_n^1)$ 其中一个解可以是:$x=g^{\frac{p-1}…

- 概念引入 - 阶 对于$p \in N_+$且$(a, \ p) = 1$,满足$a^r \equiv 1 (mod \ p)$的最小的非负$r$为$a$模$p$意义下的阶,记作$\delta_p(a)$ - 原根 定义:若$p \in N_+$且$a \in N$,若$\delta_p(a) = \phi(p)$,则称$a$为模$p$的一个原根 相关定理: - 若一个数$m$拥有原根,那么它必定为$2, \ 4, \ p^t, \ 2p^t \ (p$为奇质数$)$的其中一个 - 每个数$…

刚学完FFT,干脆把NTT也学了算了 (一)预备知识 关于原根,这里说得蛮详细的百度百科 为什么使用原根呢?为什么原根可以替代\(\omega_{n}\)呢?想知道为什么就看here NTT用到的各种素数,在这里here (二)重要知识 直接上代码 原题洛谷P1919 #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cmath>…

[题目描述] 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S. 小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中所有数的乘积mod M的值等于x的不同的数列的有多少个.小C认为,两个数列{Ai}和{Bi}不同,当且仅当至少存在一个整数i,满足Ai≠Bi.另外,小C认为这个问题 的答案可能很大,因此他只需要你帮助他求出答案mod 10045358…

3992: [SDOI2015]序列统计 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 1017  Solved: 466[Submit][Status][Discuss] Description 小C有一个集合S,里面的元素都是小于M的非负整数.他用程序编写了一个数列生成器,可以生成一个长度为N的数列,数列中的每个数都属于集合S. 小C用这个生成器生成了许多这样的数列.但是小C有一个问题需要你的帮助:给定整数x,求所有可以生成出的,且满足数列中…

递归版 UOJ34多项式乘法 //容易暴栈,但是很好理解 #include <cmath> #include <iostream> #include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <algorithm> #include <queue> #include <map> const int maxlongint=2147483647;…

$umm$先预警下想入门$FFT$就不要康我滴学习笔记了,,, 就,我学习笔记基本上是我大概$get$之后通过写$blog$加强理解加深记忆这样儿的,有些姿势点我可能会直接$skip$什么的,所以对除了我以外的所有人都十分不友好…

数论变换NTT 前置知识 FFT:NTT的思想和FFT一样(FFT介绍) 概述 数论变换,即NTT(Number Theory Transformation?),是基于数论域的FFT,一般我们默认FFT为负数域上的快速傅里叶变换,和NTT区分. 我们知道,FFT是利用单位复根的周期性,以\(\Theta(N \log N)\)的复杂度计算\(N\)组多项式的值.NTT其实就是在数论域上的FFT,它利用素数取模的周期性,达到了和FFT一样的效果. 原根 若\(a\)模\(P\)的阶等于\(φ(P)…

NTT(快速数论变换)用到的各种素数及原根: https://blog.csdn.net/hnust_xx/article/details/76572828 NTT多项式乘法模板 #include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long LL; ; //119*2^23+1 g=3 <<)+; ; int rev[N]; LL…

NTT&FFT 预先知识:无 我觉得我们可以从NTT/FFT讲起? 两个其实本质相同,都是求 多项式乘积 的算法 FFT \((x,y)\)指复数,我们可以不用管它 首先我们构造单位根\(\omega_n\)=\((cos(2\pi/n),sin(2\pi/n))\) 而\((\omega _n)^i=(cos(2\pi/n\cdot i),sin(2\pi/n\cdot i))\) 伟大的数学家们告诉我们\((\omega_n)^n=1\) 也就是说\(\omega_n\)实际上是一个\(n\…

写在最前面:本文是我阅读了多篇相关文章后对它们进行分析重组整合而得,绝大部分内容非我所原创.在此向多位原创作者致敬!!!一.傅立叶变换的由来关于傅立叶变换,无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述,但是大都是些故弄玄虚的文章,太过抽象,尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列,让人很难能够从感性上得到理解,最近,我偶尔从网上看到一个关于数字信号处理的电子书籍,是一个叫Steven W. Smith, Ph.D.外国人写的,写得非常浅显,里面有七章由浅入深地专门讲述关于离散信号的傅立叶…

自从去年下半年接触三维重构以来,听得最多的词就是傅立叶变换,后来了解到这个变换在图像处理里面也是重点中的重点. 本身自己基于高数知识的理解是傅立叶变换是将一个函数变为一堆正余弦函数的和的变换.而图像处理里则强调它是将图像信息从空间域往频率域转化的重要手段.最近从头学起数字图像处理,看完傅立叶变换之后,对于其中的计算方法快速傅立叶变换产生了好奇.于是搜索了下FFT,发现杭电上有几个这样的题目,其中点击率最高的是hdu1402*大数乘法. 大数乘法本来是一个n方的算法,经过FFT之后可以变为nlog…

已知多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+...+am-1xm-1, g(x)=b0+b1x+b2x2+...+bn-1xn-1.利用卷积的蛮力算法,得到h(x)=f(x)g(x),这一过程的时间复杂度为O(n2).但是,利用分治策略和插值法来求解h(x),可以将时间复杂度降低至O(nlogn),从而大幅提升算法的效率.此求值算法将被应用于FFT算法中. 一.多项式求值 首先,由lagrange插值法可以知道,对于一个n-1次多项式,只要给定n个不同的点(xi, yi),我们就可以计算出多项式…