前言 快速傅里叶变换(\(\text{Fast Fourier Transform,FFT}\) )是一种能在\(O(n \log n)\)的时间内完成多项式乘法的算法,在\(OI\)中的应用很多,是多项式相关内容的基础.下面从头开始介绍\(\text{FFT}\). 前置技能:弧度制.三角函数.平面向量. 多项式 形如\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\)的式子称为\(x\)的\(n\)次多项式.其中\(a_0,a_1,...,a_n\)称为多项式的系数. 系数…

目录 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 引入 快速数论变换--NTT 一些引申问题及解决方法 三模数 NTT 拆系数 FFT (MTT) 「学习笔记」FFT 之优化--NTT 前言 \(NTT\) 在某种意义上说,应该属于 \(FFT\) 的一种优化. --因而必备知识肯定要有 \(FFT\) 啦... 如果不知道 \(FFT\) 的大佬可以走这里 引入 在 \(FFT\) 中,为了能计算单位原根 \(\omega\) ,我们使用了 \(\text{C++}\) 的 math 库中的…

目录 「学习笔记」FFT 快速傅里叶变换 啥是 FFT 呀?它可以干什么? 必备芝士 点值表示 复数 傅立叶正变换 傅里叶逆变换 FFT 的代码实现 还会有的 NTT 和三模数 NTT... 「学习笔记」FFT 快速傅里叶变换 几个星期之后,继 扩展欧拉定理 之后, \(lj\) 大佬又给我们来了一发数论... 虽然听得心态爆炸, 但是还好的是没有 \(ymx\) 大佬的飞机开得好... 至少我还没有坐飞机... 啥是 FFT 呀?它可以干什么? 首先,你需要知道 矩阵乘法 的相关知识. 通过…

「学习笔记」Min25筛 前言 周指导今天模拟赛五分钟秒第一题,十分钟说第二题是 \(\text{Min25}​\) 筛板子题,要不是第三题出题人数据范围给错了,周指导十五分钟就 \(\text{AK}​\) 了,为了向 \(\text{AK}​\)王 学习,真诚的膜拜他,接受红太阳的指导,下午就学习了一下 \(\text{Min25}​\) 筛. 简介 如果 \(f(n)\) 是一个积性函数,且 \(f(n)\) 是一个关于 \(n\) 的简单多项式,并可以快速算出 \(f(p^k),\ p\…

「学习笔记」Treap 前言 什么是 Treap ? 二叉搜索树 (Binary Search Tree/Binary Sort Tree/BST) 基础定义 查找元素 插入元素 删除元素 查找后继 平衡性问题讨论 经典例题 堆 (Heap) 查询操作 插入操作 删除操作 随机二叉查找树 (Treap) 基础定义 Treap 维护平衡的原理--旋转操作 插入操作 删除操作 其他操作 调试技巧 前言 HuaQiMoAo 大佬 GuoShaoYang 大佬 且部分图片可能来源于这两位大佬. 本人太菜…

「学习笔记」字符串基础:Hash,KMP与Trie 点击查看目录 目录 「学习笔记」字符串基础:Hash,KMP与Trie Hash 算法 代码 KMP 算法 前置知识:\(\text{Border}\) 思路 代码 \(\text{KMP}\) 匹配 思路 代码 Trie 数据结构 01-Trie 代码 练习题 Hash Bovine Genomics 思路 代码 [TJOI2018]碱基序列 思路 代码 [CQOI2014]通配符匹配 [NOI2017] 蚯蚓排队 思路 代码 KMP See…

[学习笔记]wqs二分/DP凸优化 从一个经典问题谈起: 有一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\),要求找出恰好 \(k\) 个不相交的连续子序列,使得这 \(k\) 个序列的和最大 \(1 \leq k \leq n \leq 10^5, -10^9 \leq a_i \leq 10^9\) 先假装都会 \(1 \leq k \leq n \leq 1000\) 的 \(dp\) 做法以及 \(k = 1\) 的子问题 实际上这个问题还可以是个费用流模型: 对于序列中每一个点 \(i\)…

问题引入 先让我们看一个简单的问题,有N个元素,Q次操作,每次操作需要求出一段区间内的最大/小值. 这就是著名的RMQ问题. RMQ问题的解法有很多,如线段树.单调队列(某些情况下).ST表等.这里主要探讨ST表 过程 ST表是一种神奇的算法,它以倍增与二进制为基础,实现区间内最大/小值.话不多说,直接切入正题-- 我们这里以求区间最大值为例. 首先,我们可以用O(\(N lg N\))的时间复杂度预处理出以i开始,接下来2j个元素中的最大值.我们借助递推/DP的思想. for ( int i…

引入 假设我们想计算 \(f(x) = x!\).除了简单的 for 循环,我们也可以使用递归. 递归是什么意思呢?我们可以把 \(f(x)\) 用 \(f(x - 1)\) 表示,即 \(f(x) = x \times f(x - 1)\).这样,我们就可以不断地递归下去. 但是,这是永远不会停止的.我们需要设立一个边界条件,\(f(0) = 1\).这样,我们就可以写出代码了. int f(int x) {return x ? x * f(x - 1) : 1;} 实际上,递归有两大要点:…

前言 快速傅里叶变换(\(\text{Fast Fourier Transform,FFT}\) )是一种能在\(O(n \log n)\)的时间内完成多项式乘法的算法,在\(OI\)中的应用很多,是多项式相关内容的基础.下面从头开始介绍\(\text{FFT}\). 前置技能:弧度制.三角函数.平面向量. 多项式 形如\(f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n\)的式子称为\(x\)的\(n\)次多项式.其中\(a_0,a_1,...,a_n\)称为多项式的系数. 系数…