定义有向图的价值为图中每一个点的度数的 \(k\) 次方之和. 求:对于 \(n\) 个点的无向图所有可能情况的图的价值之和. 遇到这种题,八成是每个点单独算贡献,然后累加起来. 我们可以枚举一个点的度数是多少,然后试着去算该情况下的贡献,即 \(\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\) 由于一共有 \(n\) 个点,而除了我们限定的边之外其余的边都是可以随便连的. 故 \(Ans=n\times 2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\times \su…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 每个点都是等价的,从点的贡献来看,得到式子: \( ans = n * \sum\limits_{d=0}^{n-1} d^{k} * 2^{C_{n-1}^{2}} * C_{n-1}^{d} \) 使用 \( n^{k} = \sum\limits_{i=0}^{k} S(k,i) * i! *C_{n}^{i} \) 得到 \( ans = n * \sum\limits_{d…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=5093 不要见到组合数就拆! 枚举每个点的度数,则答案为 \( n*\sum\limits_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^{i}*2^{C_{n-1}^{2}}*i^{k} \) (又是那个公式:\( x^{n}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{x}^{k}*(k!)*S(n,k) \)) \( = n*2^{C_{n-1}^{2}}\sum\limits_{i=0}…

题目描述 给你\(n,m\),求所有\(n\)个点的简单无向图中每个点度数的\(m\)次方的和. \(n\leq {10}^9,m\leq {10}^5\) 题解 \(g_n\)为\(n\)个点的无向图个数,\(f_n\)为\(n\)个点的答案. \[ \begin{align} g_n&=2^{\binom{n}{2}}\\ f_n&=ng_{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^m\\ &=ng_{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\bi…

题目链接 BZOJ5093 题解 点之间是没有区别的,所以我们可以计算出一个点的所有贡献,然后乘上\(n\) 一个点可能向剩余的\(n - 1\)个点连边,那么就有 \[ans = 2^{{n - 1 \choose 2}}n \sum\limits_{i = 0}^{n - 1} {n - 1 \choose i} i^k\] 显然要求 \[\sum\limits_{i = 0}^{n} {n \choose i} i^k\] 然后我就不知道怎么做了.. 翻翻题解 有这样一个结论: \[n^k…

传送门 首先,题目所求为\[n\times 2^{C_{n-1}^2}\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 即对于每个点\(i\),枚举它的度数,然后计算方案.因为有\(n\)个点,且关于某个点连边的时候剩下的边都可以随便连,所以有前面的两个常数 所以真正要计算的是\[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^ii^k\] 根据第二类斯特林数的性质,有\[i^k=\sum_{j=0}^iS(k,j)\times j!\times C_i^j\] 然后带入,得\[\s…

题目 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: S(i, j)表示第二类斯特林数,递推公式为: S(i, j) = j ∗ S(i − 1, j) + S(i − 1, j − 1), 1 <= j <= i − 1. 边界条件为:S(i, i) = 1(0 <= i), S(i, 0) = 0(1 <= i) 你能帮帮他吗? 输入格式 输入只有一个正整数 输出格式 输出f(n).由于结果会很大,输出f(n)对998244353(7…

题目:https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4555 关于第二类斯特林数:https://www.cnblogs.com/Wuweizheng/p/8638858.html 关于这道题:https://blog.csdn.net/werkeytom_ftd/article/details/51909966 把 ∑i 移到后面那一步很不错,在后面就是个等比数列求和,就消去一个 O(n) 了: 注意等比数列求和公式当 q=1 时不适用. 代…

Description 在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心. 现在他想计算这样一个函数的值: $$f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i S(i,j)\times 2^j\times(j!)$$ $S(i,j)$表示第二类斯特林数,递推公式为:$S(i,j)=j\times S(i-1,j)+S(i-1,j-1),1\leq j\leq i-1$.边界条件为:$S(i,i)=1(0\leq i),S(i,0)=0(1\leq i)$你能帮帮他吗? Inp…

传送门 首先,因为在\(j>i\)的时候有\(S(i,j)=0\),所以原式可以写成\[Ans=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)\times 2^j\times j!\] \[Ans=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\sum_{i=0}^nS(i,j)\] 根据第二类斯特林数的通项公式代入,有\[Ans=\sum_{j=0}^n2^j\times j!\sum_{i=0}^n\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k…

题目链接 \(Description\) 求 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)2^jj!\]对998244353取模后的结果. \(n<=10^5\) \(Solution\) \(S(i,j)\)在这里就非常碍事,怎么把它写成一个多项式的形式呢? 第二类斯特林数还有一种容斥的写法 \[S(n,m)=\frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m(-1)^iC_m^i(m-i)^n\] 把它带到要求的式子里去 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i…

传送门 解题思路 数学题,推式子.求\(f(n)=\sum\limits_{i=0}^n\sum\limits_{j=0}^iS(i,j)2^jj!\) 首先可以把\(j\)往前提: \[f(n)=\sum\limits_{j=0}^n2^jj!\sum\limits_{i=0}^nS(i,j)\] 然后把斯特林数按照通项展开: \[f(n)=\sum\limits_{j=0}^n2^jj!\sum\limits_{i=0}^n\tfrac{1}{m!}\sum\limits_{k=0}^j(-…

求 \(\sum_{i=0}^{k}\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}i^L\) \((1\leqslant n,m\leqslant 2\times 10^7,1\leqslant L\leqslant 2\times 10^5)\) 这个式子比较简洁,然后也没啥可推的,所以我们将 \(i^L\) 展开. 那么原式为 \(\sum_{i=0}^{k}\binom{m}{i}\binom{n-m}{k-i}\sum_{j=0}^{i}\binom{i}{j}S(L,j)\t…

题目大意 求\(f(n)=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^i2^j\times j!\times S(i,j)\\\) 对\(998244353\)取模 \(n\leq 100000\). 题解 \[ \begin{align} S(n,k)&=\frac1{k!}\sum_{i=0}^k{(-1)}^i\binom{k}{i}{(k-i)}^n\\ &=\frac1{k!}\sum_{i=0}^k{(-1)}^i\frac{k!}{i!(k-i)!}(k-i)^n\\ &a…

[BZOJ5093]图的价值(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 单独考虑每一个点的贡献: 因为不知道它连了几条边,所以枚举一下 \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k·2^{\frac{n(n-1)}{2}}\] 因为有\(n\)个点,所以还要乘以一个\(n\) 所以,我们真正要求的就是: \[\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i·i^k\] 怎么做? 看到了\(i^k\)想到了第二类斯特林数 \[m^n=\sum_{i=0}^{m}…

题意: 给定\(n\)个点,一个图的价值定义为所有点的度数的\(k\)次方之和. 现在计算所有\(n\)个点的简单无向图的价值之和. 思路: 将式子列出来: \[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=0}^{n-1}{n-1\choose j}2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}j^k \] 表示分别考虑每个点的贡献,我们只需要枚举其度数即可,其余的边任意连. 然后我们将后面的\(j^k\)用第二类斯特林数展开: \[ \begin{aligned} &\sum_{i=1}^{n…

原题链接 题解 题目等价于求这个式子 \[ans=n2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}{i}i^k\] 有这么一个式子 \[i^k=\sum\limits_{j=0}^{i}\begin{Bmatrix} k\\ j \end{Bmatrix}j!\binom{i}{j}\] 代入可得 \[ans=n2^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\binom{n-1}…

[Lydsy1711月赛]图的价值 Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 256 MBSubmit: 245  Solved: 128[Submit][Status][Discuss] Description “简单无向图”是指无重边.无自环的无向图(不一定连通). 一个带标号的图的价值定义为每个点度数的k次方的和. 给定n和k,请计算所有n个点的带标号的简单无向图的价值之和. 因为答案很大,请对998244353取模输出.   Input 第一行包含两个正整数n,…

题目链接:https://vjudge.net/problem/HDU-4045 Machine scheduling Time Limit: 5000/2000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1907    Accepted Submission(s): 702 Problem Description A Baidu’s engineer needs to an…

传送门 题意: 给出\(n\)个元素,每个元素有价值\(w_i\).现在要对这\(n\)个元素进行划分,共划分为\(k\)组.每一组的价值为\(|S|\sum_{i=0}^{|S|}w_i\). 最后询问所有划分的总价值. 思路: 直接枚举划分不好计算,考虑单独计算每一个元素的贡献,那么就有式子: \[ \sum_{i=1}^nw_i\sum_{j=1}^{n-k+1}{n-1\choose j-1}\begin{Bmatrix} n - j \\ k - 1 \end{Bmatrix}j \]…

[BZOJ4555]求和(第二类斯特林数,组合数学,NTT) 题面 BZOJ 题解 推推柿子 \[\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^iS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nS(i,j)·j!·2^j\] \[=\sum_{i=0}^n\sum_{j=0}^nj!·2^j(\frac{1}{j!}\sum_{k=0}^j(-1)^k·C_j^k·(j-k)^i)\] \[=\sum_{j=0}^n2^j\sum_{k=0}^j(-1)^k…

传送门:CF原网 洛谷 题意:给定 $n,k$,求 $\sum\limits^n_{i=1}\dbinom{n}{i}i^k\bmod(10^9+7)$. $1\le n\le 10^9,1\le k\le 5000$. 很水的一道题. 根据第二类斯特林数的性质: $$n^k=\sum^k_{i=1}\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}i!\dbinom{n}{i}$$ 那么直接套进去: $$\sum\limits^n_{i=1}\dbinom{n}{i}\sum^k…

https://vjudge.net/problem/HDU-4625 题意 给出一颗树,边权为1,对于每个结点u,求sigma(dist(u,v)^k). 分析 贴个官方题解 n^k并不好转移,于是用第二类斯特林数转化一下,这样可以预处理第二类斯特林数,而sigma(C(dist(u,v),i))则利用C(n,x)=C(n-1,x)+C(n-1,x-1)来进行树DP转移得到. 设dp[u][k]=sigma(C(dist(u,v),k)),则dp[u][k]=dp[v][k]+dp[v][k-…

[CF961G]Partitions 题意:给出n个物品,每个物品有一个权值$w_i$,定义一个集合$S$的权值为$W(S)=|S|\sum\limits_{x\in S} w_x$,定义一个划分的权值为$V(R)=\sum\limits_{S\in R} W(S)$.求将n个物品划分成k个集合的所有方案的权值和. $n,k\le 2\cdot 10^5,w_i\le 10^9$ 题解:第二类斯特林数针是太好用辣! 显然每个物品都是独立的,所以我们只需要处理出每个物品被统计的次数即可,说白了就是…

[CF932E]Team Work(第二类斯特林数) 题面 洛谷 CF 求\(\sum_{i=1}^nC_{n}^i*i^k\) 题解 寒假的时候被带飞,这题被带着写了一遍.事实上并不难,我们来颓柿子. 首先回忆一下第二类斯特林数关于整数幂的计算公式: \[m^n=\sum_{i=0}^mC_{m}^i*S(n,i)*i!\] \(m^n\)理解为把\(n\)个不同的球放到\(m\)个不同的盒子中去.那么我们枚举有几个盒子非空,用第二类斯特林数乘阶乘计算放置的方案数,最后求和就是结果. 那么直接…

[51NOD 1847]奇怪的数学题(莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛,第二类斯特林数) 题面 51NOD \[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j)^k\] 其中\(sgcd\)表示次大公约数. 题解 明摆着\(sgcd\)就是在\(gcd\)的基础上除掉\(gcd\)的最小因数. 所以直接枚举\(gcd\). \[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n sgcd(i,j)^k\\ &=\sum_{i=1…

[CF961G]Partitions(第二类斯特林数) 题面 CodeForces 洛谷 题解 考虑每个数的贡献,显然每个数前面贡献的系数都是一样的. 枚举当前数所在的集合大小,所以前面的系数\(p\)就是: \[\begin{aligned} p&=\sum_{i=1}^n{n-1\choose i-1}i\begin{Bmatrix}n-i\\k-1\end{Bmatrix}\\ &=\sum_{i=1}^n{n-1\choose i-1}i\frac{1}{(k-1)!}\sum_{…

[BZOJ2159]Crash的文明世界(第二类斯特林数,动态规划) 题面 BZOJ 洛谷 题解 看到\(k\)次方的式子就可以往二项式的展开上面考,但是显然这样子的复杂度会有一个\(O(k^2)\),因此需要换别的方法. 注意到自然指数幂和第二林斯特林数之间的关系: \[n^k=\sum_{i=0}^k \begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}{n\choose i}i!\] 那么将答案式化简 \[\begin{aligned} Ans_x&=\sum_{i=1}^N…

Rank Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 433    Accepted Submission(s): 207 Problem Description Recently in Teddy's hometown there is a competition named "Cow Year Blow Cow".N c…

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4045 Machine schedulingTime Limit: 5000/2000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1933 Accepted Submission(s): 711 Problem DescriptionA Baidu’s engineer needs to anal…