题面 传送门 思路 这道题的核心在于"恰好有$k$种颜色占了恰好$s$个格子" 这些"恰好",引导我们去思考,怎么求出总的方案数呢? 分开考虑 考虑把恰好有$s$个格子的颜色,和不是$s$个颜色的格子分开来考虑 那么,显然答案可以用这样的一个式子表示: 令$lim=min(\lfloor\frac ns\rfloor,m)$,那么: $ans=\sum_{i=0}^{lim}w_iC_m^iC_n^{is}\frac{(is)!}{(s!)^i}g(m-i,n-is…

[BZOJ5306] [HAOI2018]染色(容斥原理+NTT) 题面 一个长度为 n的序列, 每个位置都可以被染成 m种颜色中的某一种. 如果n个位置中恰好出现了 S次的颜色有 K种, 则小 C 会产生 \(W_k\)的愉悦度. 求对于所有可能的染色方案, 他能获得的愉悦度的和.答案对 1004535809 取模 分析 显然颜色数量不超过\(tot=\min(m,\frac{n}{S})\) 我们需要求出现了\(S\)次的颜色有\(i\)种的方案数.这个东西不太好求,考虑容斥,求出现了\(S…

[BZOJ5306]染色(NTT) 题面 BZOJ 洛谷 题解 我们只需要考虑每一个\(W[i]\)的贡献就好了 令\(lim=min(M,\frac{N}{S})\) 那么,开始考虑每一个\(W[i]\)的贡献 \[\sum_{k=0}^{lim}W[k]C_M^kC_N^{kS}\frac{(kS)!}{(S!)^k}\times Others\] \(Others\)是其他的东西,先考虑前面这堆东西的意义. 我们枚举恰好出现了\(S\)次的颜色个数\(k\),那么,选定这些颜色的方案数 首…

「HAOI2018」染色 是个套路题.. 考虑容斥 则恰好为\(k\)个颜色恰好为\(c\)次的贡献为 \[ \binom{m}{k}\sum_{i\ge k}(-1)^{i-k}\binom{m-k}{i-k}\binom{n}{si}\frac{(si)!}{(s!)^i}(m-i)^{n-si} \] 有两项最开始搞忘了..\(\binom{n}{si}\frac{(si)!}{(s!)^i}\)就是这两个 代表钦定\(si\)个位置去染,然后染色本身是个可重排列 设\(d=\min(\l…

题目描述 求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1). 输入 仅一行一个整数n(<=130000) 输出 仅一行一个整数, 为方案数 mod 1004535809. 样例输入 3 样例输出 4 题解 容斥原理+NTT+多项式求逆 设 $f_i$ 表示 $i$ 个点的简单无向连通图的数目,$g_i$ 表示 $i$ 个点的简单无向图的数目. 根据定义得 $g_i=2^{\frac{n(n-1}2}$ . 对于 $f_i$ ,考虑容斥…

容易想到枚举恰好出现S次的颜色有几种.如果固定至少有i种恰好出现S次,那么方案数是C(M,i)·C(N,i*S)·(M-i)N-i*S·(i*S)!/(S!)i,设为f(i). 于是考虑容斥,可得恰好i种的答案为Σ(-1)j-iC(j,i)·f(j) (j=i~min(M,⌊N/S⌋)).因为容斥是一个枚举子集的过程,在算至少i种的方案时,f(j)被计入了C(j,i)次. f显然可以通过预处理阶乘及其逆元线性地算出来.考虑怎么快速算后一部分.注意到模数,NTT没跑了.拆开组合数,可以发现是与j-…

好像网上没人....和我推出....同一个式子啊..... LOJ #2527 Luogu P4491 题意 $ n$个格子中每个格子可以涂$ m$种颜色中的一种 若有$ k$种颜色恰好涂了$ s$格则产生$ w_k$的价值 求所有涂色方案的价值和 $ solution$ 按常规套路先容斥 设 $f_x$表示恰好有$ x$种颜色涂了恰好$s$格的方案数, $ g_x$表示至少有$ x$种颜色涂了恰好$ s$格的方案数 有 $ ans=\sum\limits_{i=0}^mw_if_i$ $ f_…

题解 简单容斥题 至少选了\(k\)个颜色恰好出现\(S\)次方案数是 \(F[k] = \binom{M}{k} \frac{N!}{(S!)^{k}(N - i * S)!}(M - k)^{N - i * S}\) 然后恰好\(k\)个颜色恰好出现\(k\)次就是 \(g[k] = \sum_{j = k}^{M} (-1)^{k - j} \binom{j}{k}F[j]\) 然后就是 \(g[k]*k! = \sum_{j = k}^{M}\frac{(-1)^{j - k}}{(j…

显然相当于求有不超过n-2m种颜色出现奇数次的方案数.由于相当于是对各种颜色选定出现次数后有序排列,可以考虑EGF. 容易构造出EGF(ex-e-x)/2=Σx2k+1/(2k+1)!,即表示该颜色只能选奇数个.同理有EGF(ex+e-x)/2=Σx2k/(2k)!,即表示该颜色只能选偶数个. 考虑暴力枚举有多少种颜色出现了奇数次.不妨设恰有i种颜色出现了奇数次的方案数为f(i),那么f(i)=n!·C(D,i)·[xn](((ex-e-x)/2)i·((ex+e-x)/2)D-i),答案显然为…

这套题是 dy, wearry 出的.学长好强啊,可惜都 \(wc\) 退役了.. 话说 wearry 真的是一个计数神仙..就没看到他计不出来的题...每次考他模拟赛总有一两道毒瘤计数TAT 上午的官方题解可以看 dy0607 的博客,写的挺详细的. 「HAOI2018」奇怪的背包 题意 小C非常擅长背包问题,他有一个奇怪的背包,这个背包有一个参数 \(P\) ,当他向这个背包内放入若干个物品后,背包的重量是物品总体积对 \(P\) 取模后的结果． 现在小C有 \(n\) 种体积不同的物品,第…