题目大意 求两两互不同构的含n个点的简单图有多少种. 简单图是关联一对顶点的无向边不多于一条的不含自环的图. a图与b图被认为是同构的是指a图的顶点经过一定的重新标号以后,a图的顶点集和边集能完全与b图一一对应. 题解 这个题是学习了Polya定理和群论以后的练手题,但是推了好久并没有推出来....真的是太难辣... 首先我先说一下我错误的想法: 很容易就把这个题转化成了给\(K_n\)的完全图上的边进行二着色的问题,然后,由于在组合数学课程中经常接触到多边形着色,所以我就把这个题错误的转化成了…

由于有很多本质相同的重复置换,我们先枚举各种长度的点循环分别有多少个,这个暴搜的复杂度不大,n=53时也只有3e5左右.对于每种搜索方案可以轻易求出它所代表的置换具体有多少个. 但我们搜索的是点置换组成的循环,要求的是边置换组成的循环.现在问题就是对于每种搜索方案,求出有多少个边循环. 首先,如果一条边的两个端点属于同一点循环,另一条边的端点属于两个不同点循环,那么显然这两条边不可能属于同一边循环. 对于一个长度为L的点循环,观察发现所有两个端点都属于这个点循环的边构成了L/2个边循环. 对于两…

题目传送门 bzoj1488 - [HNOI2009]图的同构 bzoj1815 - [Shoi2006]color 有色图(双倍经验) 题解 暴力 由于在做题之前已经被告知是 Burnside 引理,貌似思考的时候少了一些乐趣啊. 考虑一个置换 \(p\),想要求出这个置换下的不动点的个数.对于一个不动点,若存在一条边 \((a, b)\),一定存在一条边 \((p_a, p_b)\). 那么考虑一个长度为 \(l\) 的循环,若 \((i, j)\) 是一条 \(i, j\) 均在循环中的点…

题目链接:http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1488 1488: [HNOI2009]图的同构 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 64 MBSubmit: 591  Solved: 388[Submit][Status][Discuss] Description 求两两互不同构的含n个点的简单图有多少种. 简单图是关联一对顶点的无向边不多于一条的不含自环的图. a图与b图被认为是同构的是指a图的顶点经…

完全图中选出不同构的简单图有多少个 上题简化版,只有两种颜色....直接copy就行了 太诡异了,刚才电脑上多了一个不动的鼠标指针,然后打开显卡管理界面就没了 #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; ,P=; typedef long long ll; inline…

[BZOJ1488][HNOI2009]图的同构(Burside引理,Polya定理) 题面 BZOJ 洛谷 题解 求本质不同的方案数,很明显就是群论这套理论了. 置换一共有\(n!\)个,考虑如何对于任意一个置换求不动点数量. 首先边存在或者不存在太麻烦了,我们假装所有边都已经存在,出现过的边和不存在的边用两种不同的颜色染色即可.这样子我们就假装所有的边都出现了,也就是一个完全图. 显然循环是对于点而论的,但是这题同构是对于边而论的.那么我们对于一个点的循环,考虑它的两个顶点.这两个顶点只有两…

题目链接 题意 求 n 个点的同构意义下不同的图的数量.\((n\leq 60)\) Sol \(Polya\) 定理的练手题. 我们这里先把边的存在与否变成对边进行黑白染色,白色代表不存在,这样就变成了一个对完全图中的边进行染色的问题,于是可以使用 对\(Burnside\)引理 进行优化后的 \(Polya\) 定理. 显然总的置换群大小是 \(n!\) 对应了每一种对边进行重新编号的方案,关键就在于要求出不动点的个数. 使用 \(Polya\) 定理,那么只需要求出所有关于边的置换中每一个…

群 群的定义 我们定义,对于一个集合 \(G\) 以及二元运算 \(\times\),如果满足以下四种性质,那我们就称 \((G,\times)\) 为一个群. 1. 封闭性 对于 \(a\in G,b\in G\),那么有 \(a\times b\in G\) 2. 结合律 \(a\times (b\times c)=(a\times b)\times c\) 似乎这个东西没有什么用蛤? 3. 单位元 存在一个元素 \(e\in G\),使得任意 \(a\in G\) 有 \(a\times…

转自:http://endlesscount.blog.163.com/blog/static/82119787201221324524202/ Polya定理 首先记Sn为有前n个正整数组成的集合,G为Sn的置换群,C为Sn的着色集.那么我们等于是要求C中有多少种着色方案是不等价的.定义两种着色等价的概念:如果对于在C中的两种着色c1.c2,存在置换f使得f*c1=c2,那么c1和c2就是等价的.要想求不等价着色的个数,我们要先证明一个定理,即:         Burnside定理:设G(c…

对Polya定理的个人认识     我们先来看一道经典题目:     He's Circles(SGU 294)         有一个长度为N的环,上面写着“X”和“E”,问本质不同的环有多少个(不能旋转重复就称之为本质不同) 输入样例:4 输出样例:6 那么要怎么办呢?暴力显然暴不出来…… 我们可以考虑使用置换群. 我们有两种算法: ①Burnside引理: 答案直接为1/|G|*(D(a1)+D(a2)+D(a3)+……+D(as)) 其中D(ak)为在进行置换群置换操作ak下不变的元素的…